Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 935 / 994
↖ ↑ ↗
← N 79.416240°
W138.911133°		 ← 897.53 m → N 79.416240°
W138.867187°		 →
↑
897.80 m
↓
↑
897.80 m
↓
N 79.408165°
W138.911133°		 ← 898.20 m →
806 105 m²		 N 79.408165°
W138.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11419677734375 y=0.12139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11419677734375 × 213)
    floor (0.11419677734375 × 8192)
    floor (935.5)     		tx = 935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12139892578125 × 213)
    floor (0.12139892578125 × 8192)
    floor (994.5)     		ty = 994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 935 / 994 ti = "13/935/994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/935/994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 935 ÷ 213
    935 ÷ 8192     		x = 0.1141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 994 ÷ 213
    994 ÷ 8192     		y = 0.121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42445664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121337890625 × 2 - 1) × π
    0.75732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37920420194263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42445664} λ = -2.42445664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37920420194263))-π/2
    2×atan(10.7963077636577)-π/2
    2×1.47843559552884-π/2
    2.95687119105767-1.57079632675     		φ = 1.38607486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42445664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38607486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.416240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 935 KachelY 994 -2.42445664 1.38607486 -138.911133 79.416240
    Oben rechts KachelX + 1 936 KachelY 994 -2.42368964 1.38607486 -138.867187 79.416240
    Unten links KachelX 935 KachelY + 1 995 -2.42445664 1.38593394 -138.911133 79.408165
    Unten rechts KachelX + 1 936 KachelY + 1 995 -2.42368964 1.38593394 -138.867187 79.408165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38607486-1.38593394) × R
    0.000140919999999989 × 6371000     		dl = 897.801319999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38607486-1.38593394) × R
    0.000140919999999989 × 6371000     		dr = 897.801319999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42445664--2.42368964) × cos(1.38607486) × R
    0.00076699999999974 × 0.183672746011926 × 6371000     		do = 897.527342733497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42445664--2.42368964) × cos(1.38593394) × R
    0.00076699999999974 × 0.183811266778873 × 6371000     		du = 898.204232356863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38607486)-sin(1.38593394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183672746011926-0.183811266778873)×R²
    abs(-2.42368964--2.42445664)×0.000138520766946343×R²
    0.00076699999999974×0.000138520766946343×6371000²
    0.00076699999999974×0.000138520766946343×40589641000000     		ar = 806105.090572575m²