Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 935 / 922
↖ ↑ ↗
← S 80.760615°
E148.710937°		 ← 6 276.60 m → S 80.760615°
E149.062500°		 →
↑
6 257.66 m
↓
↑
6 257.66 m
↓
S 80.816891°
E148.710937°		 ← 6 238.70 m →
39 158 256 m²		 S 80.816891°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91357421875 y=0.90087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91357421875 × 210)
    floor (0.91357421875 × 1024)
    floor (935.5)     		tx = 935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90087890625 × 210)
    floor (0.90087890625 × 1024)
    floor (922.5)     		ty = 922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 935 / 922 ti = "10/935/922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/935/922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 935 ÷ 210
    935 ÷ 1024     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 922 ÷ 210
    922 ÷ 1024     		y = 0.900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900390625 × 2 - 1) × π
    -0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51572849206055))-π/2
    2×atan(0.0808040256689603)-π/2
    2×0.0806288471127907-π/2
    0.161257694225581-1.57079632675     		φ = -1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 935 KachelY 922 2.59549549 -1.40953863 148.710937 -80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 936 KachelY 922 2.60163142 -1.40953863 149.062500 -80.760615
    Unten links KachelX 935 KachelY + 1 923 2.59549549 -1.41052084 148.710937 -80.816891
    Unten rechts KachelX + 1 936 KachelY + 1 923 2.60163142 -1.41052084 149.062500 -80.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40953863--1.41052084) × R
    0.000982210000000094 × 6371000     		dl = 6257.6599100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40953863--1.41052084) × R
    0.000982210000000094 × 6371000     		dr = 6257.6599100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.60163142) × cos(-1.40953863) × R
    0.00613593000000012 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 6276.60190601391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.60163142) × cos(-1.41052084) × R
    0.00613593000000012 × 0.159590168645371 × 6371000     		du = 6238.70047337437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40953863)-sin(-1.41052084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.159590168645371)×R²
    abs(2.60163142-2.59549549)×0.000969544226823993×R²
    0.00613593000000012×0.000969544226823993×6371000²
    0.00613593000000012×0.000969544226823993×40589641000000     		ar = 39158256.1286363m²