Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 935 / 921
↖ ↑ ↗
← S 80.703997°
E148.710937°		 ← 6 314.73 m → S 80.703997°
E149.062500°		 →
↑
6 295.63 m
↓
↑
6 295.63 m
↓
S 80.760615°
E148.710937°		 ← 6 276.60 m →
39 635 185 m²		 S 80.760615°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91357421875 y=0.89990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91357421875 × 210)
    floor (0.91357421875 × 1024)
    floor (935.5)     		tx = 935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89990234375 × 210)
    floor (0.89990234375 × 1024)
    floor (921.5)     		ty = 921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 935 / 921 ti = "10/935/921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/935/921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 935 ÷ 210
    935 ÷ 1024     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 921 ÷ 210
    921 ÷ 1024     		y = 0.8994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8994140625 × 2 - 1) × π
    -0.798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.50959256890918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50959256890918))-π/2
    2×atan(0.0813013571944385)-π/2
    2×0.0811229327138301-π/2
    0.16224586542766-1.57079632675     		φ = -1.40855046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40855046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.703997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 935 KachelY 921 2.59549549 -1.40855046 148.710937 -80.703997
    Oben rechts KachelX + 1 936 KachelY 921 2.60163142 -1.40855046 149.062500 -80.703997
    Unten links KachelX 935 KachelY + 1 922 2.59549549 -1.40953863 148.710937 -80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 936 KachelY + 1 922 2.60163142 -1.40953863 149.062500 -80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40855046--1.40953863) × R
    0.000988169999999844 × 6371000     		dl = 6295.63106999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40855046--1.40953863) × R
    0.000988169999999844 × 6371000     		dr = 6295.63106999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.60163142) × cos(-1.40855046) × R
    0.00613593000000012 × 0.161534983931327 × 6371000     		do = 6314.72721203945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.60163142) × cos(-1.40953863) × R
    0.00613593000000012 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 6276.60190601391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40855046)-sin(-1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161534983931327-0.160559712872195)×R²
    abs(2.60163142-2.59549549)×0.000975271059131561×R²
    0.00613593000000012×0.000975271059131561×6371000²
    0.00613593000000012×0.000975271059131561×40589641000000     		ar = 39635184.6293388m²