Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 935 / 675
↖ ↑ ↗
← N 76.121893°
W 97.822266°		 ← 2 344.12 m → N 76.121893°
W 97.734375°		 →
↑
2 345.93 m
↓
↑
2 345.93 m
↓
N 76.100796°
W 97.822266°		 ← 2 347.61 m →
5 503 239 m²		 N 76.100796°
W 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2283935546875 y=0.1649169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2283935546875 × 212)
    floor (0.2283935546875 × 4096)
    floor (935.5)     		tx = 935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1649169921875 × 212)
    floor (0.1649169921875 × 4096)
    floor (675.5)     		ty = 675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 935 / 675 ti = "12/935/675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/935/675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 935 ÷ 212
    935 ÷ 4096     		x = 0.228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 675 ÷ 212
    675 ÷ 4096     		y = 0.164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164794921875 × 2 - 1) × π
    0.67041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10615562170679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70732062} λ = -1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10615562170679))-π/2
    2×atan(8.2165927982303)-π/2
    2×1.44968699591986-π/2
    2.89937399183972-1.57079632675     		φ = 1.32857767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32857767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.121893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 935 KachelY 675 -1.70732062 1.32857767 -97.822266 76.121893
    Oben rechts KachelX + 1 936 KachelY 675 -1.70578664 1.32857767 -97.734375 76.121893
    Unten links KachelX 935 KachelY + 1 676 -1.70732062 1.32820945 -97.822266 76.100796
    Unten rechts KachelX + 1 936 KachelY + 1 676 -1.70578664 1.32820945 -97.734375 76.100796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32857767-1.32820945) × R
    0.000368220000000141 × 6371000     		dl = 2345.9296200009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32857767-1.32820945) × R
    0.000368220000000141 × 6371000     		dr = 2345.9296200009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70732062--1.70578664) × cos(1.32857767) × R
    0.00153398000000005 × 0.239857105219175 × 6371000     		do = 2344.12027042471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70732062--1.70578664) × cos(1.32820945) × R
    0.00153398000000005 × 0.240214559947368 × 6371000     		du = 2347.6136706863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32857767)-sin(1.32820945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239857105219175-0.240214559947368)×R²
    abs(-1.70578664--1.70732062)×0.000357454728193402×R²
    0.00153398000000005×0.000357454728193402×6371000²
    0.00153398000000005×0.000357454728193402×40589641000000     		ar = 5503238.87298781m²