Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 935 / 616
↖ ↑ ↗
← N 77.312520°
W 97.822266°		 ← 2 146.47 m → N 77.312520°
W 97.734375°		 →
↑
2 148.11 m
↓
↑
2 148.11 m
↓
N 77.293202°
W 97.822266°		 ← 2 149.69 m →
4 614 308 m²		 N 77.293202°
W 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2283935546875 y=0.1505126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2283935546875 × 212)
    floor (0.2283935546875 × 4096)
    floor (935.5)     		tx = 935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1505126953125 × 212)
    floor (0.1505126953125 × 4096)
    floor (616.5)     		ty = 616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 935 / 616 ti = "12/935/616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/935/616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 935 ÷ 212
    935 ÷ 4096     		x = 0.228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 616 ÷ 212
    616 ÷ 4096     		y = 0.150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150390625 × 2 - 1) × π
    0.69921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19666048818945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70732062} λ = -1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19666048818945))-π/2
    2×atan(8.99492462929445)-π/2
    2×1.4600771763585-π/2
    2.92015435271701-1.57079632675     		φ = 1.34935803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34935803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.312520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 935 KachelY 616 -1.70732062 1.34935803 -97.822266 77.312520
    Oben rechts KachelX + 1 936 KachelY 616 -1.70578664 1.34935803 -97.734375 77.312520
    Unten links KachelX 935 KachelY + 1 617 -1.70732062 1.34902086 -97.822266 77.293202
    Unten rechts KachelX + 1 936 KachelY + 1 617 -1.70578664 1.34902086 -97.734375 77.293202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34935803-1.34902086) × R
    0.000337170000000109 × 6371000     		dl = 2148.11007000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34935803-1.34902086) × R
    0.000337170000000109 × 6371000     		dr = 2148.11007000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70732062--1.70578664) × cos(1.34935803) × R
    0.00153398000000005 × 0.219633027044924 × 6371000     		do = 2146.47062583488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70732062--1.70578664) × cos(1.34902086) × R
    0.00153398000000005 × 0.219961951726465 × 6371000     		du = 2149.68520233341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34935803)-sin(1.34902086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219633027044924-0.219961951726465)×R²
    abs(-1.70578664--1.70732062)×0.000328924681540499×R²
    0.00153398000000005×0.000328924681540499×6371000²
    0.00153398000000005×0.000328924681540499×40589641000000     		ar = 4614307.84210127m²