Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 935 / 487
↖ ↑ ↗
← N 68.204212°
W 15.644531°		 ← 7 257.41 m → N 68.204212°
W 15.468750°		 →
↑
7 267.78 m
↓
↑
7 267.78 m
↓
N 68.138852°
W 15.644531°		 ← 7 278.11 m →
52 820 506 m²		 N 68.138852°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456787109375 y=0.238037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456787109375 × 211)
    floor (0.456787109375 × 2048)
    floor (935.5)     		tx = 935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238037109375 × 211)
    floor (0.238037109375 × 2048)
    floor (487.5)     		ty = 487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 935 / 487 ti = "11/935/487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/935/487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 935 ÷ 211
    935 ÷ 2048     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 487 ÷ 211
    487 ÷ 2048     		y = 0.23779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23779296875 × 2 - 1) × π
    0.5244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64749536614209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64749536614209))-π/2
    2×atan(5.19395456776926)-π/2
    2×1.38059219660057-π/2
    2.76118439320114-1.57079632675     		φ = 1.19038807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19038807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.204212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 935 KachelY 487 -0.27304858 1.19038807 -15.644531 68.204212
    Oben rechts KachelX + 1 936 KachelY 487 -0.26998062 1.19038807 -15.468750 68.204212
    Unten links KachelX 935 KachelY + 1 488 -0.27304858 1.18924731 -15.644531 68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 936 KachelY + 1 488 -0.26998062 1.18924731 -15.468750 68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19038807-1.18924731) × R
    0.00114075999999996 × 6371000     		dl = 7267.78195999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19038807-1.18924731) × R
    0.00114075999999996 × 6371000     		dr = 7267.78195999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.26998062) × cos(1.19038807) × R
    0.00306795999999998 × 0.371299572138779 × 6371000     		do = 7257.411471344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.26998062) × cos(1.18924731) × R
    0.00306795999999998 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 7278.11004734467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19038807)-sin(1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371299572138779-0.372358540952008)×R²
    abs(-0.26998062--0.27304858)×0.00105896881322975×R²
    0.00306795999999998×0.00105896881322975×6371000²
    0.00306795999999998×0.00105896881322975×40589641000000     		ar = 52820506.2644587m²