Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9349 / 9722
↖ ↑ ↗
← S 31.840232°
E 25.422363°		 ← 2 075.62 m → S 31.840232°
E 25.444336°		 →
↑
2 075.42 m
↓
↑
2 075.42 m
↓
S 31.858897°
E 25.422363°		 ← 2 075.20 m →
4 307 341 m²		 S 31.858897°
E 25.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570648193359375 y=0.593414306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570648193359375 × 214)
    floor (0.570648193359375 × 16384)
    floor (9349.5)     		tx = 9349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593414306640625 × 214)
    floor (0.593414306640625 × 16384)
    floor (9722.5)     		ty = 9722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9349 / 9722 ti = "14/9349/9722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9349/9722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9349 ÷ 214
    9349 ÷ 16384     		x = 0.57061767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9722 ÷ 214
    9722 ÷ 16384     		y = 0.5933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57061767578125 × 2 - 1) × π
    0.1412353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44370394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.586747651349487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44370394} λ = 0.44370394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586747651349487))-π/2
    2×atan(0.55613308528567)-π/2
    2×0.507539716076533-π/2
    1.01507943215307-1.57079632675     		φ = -0.55571689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44370394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55571689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.840232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9349 KachelY 9722 0.44370394 -0.55571689 25.422363 -31.840232
    Oben rechts KachelX + 1 9350 KachelY 9722 0.44408744 -0.55571689 25.444336 -31.840232
    Unten links KachelX 9349 KachelY + 1 9723 0.44370394 -0.55604265 25.422363 -31.858897
    Unten rechts KachelX + 1 9350 KachelY + 1 9723 0.44408744 -0.55604265 25.444336 -31.858897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55571689--0.55604265) × R
    0.000325759999999953 × 6371000     		dl = 2075.4169599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55571689--0.55604265) × R
    0.000325759999999953 × 6371000     		dr = 2075.4169599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44370394-0.44408744) × cos(-0.55571689) × R
    0.000383499999999981 × 0.849522461524508 × 6371000     		do = 2075.61996550981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44370394-0.44408744) × cos(-0.55604265) × R
    0.000383499999999981 × 0.849350560965995 × 6371000     		du = 2075.19996457105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55571689)-sin(-0.55604265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849522461524508-0.849350560965995)×R²
    abs(0.44408744-0.44370394)×0.000171900558512572×R²
    0.000383499999999981×0.000171900558512572×6371000²
    0.000383499999999981×0.000171900558512572×40589641000000     		ar = 4307341.0784876m²