Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9348 / 9723
↖ ↑ ↗
← S 31.858897°
E 25.400391°		 ← 2 075.15 m → S 31.858897°
E 25.422363°		 →
↑
2 074.97 m
↓
↑
2 074.97 m
↓
S 31.877558°
E 25.400391°		 ← 2 074.73 m →
4 305 432 m²		 S 31.877558°
E 25.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570587158203125 y=0.593475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570587158203125 × 214)
    floor (0.570587158203125 × 16384)
    floor (9348.5)     		tx = 9348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593475341796875 × 214)
    floor (0.593475341796875 × 16384)
    floor (9723.5)     		ty = 9723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9348 / 9723 ti = "14/9348/9723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9348/9723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9348 ÷ 214
    9348 ÷ 16384     		x = 0.570556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9723 ÷ 214
    9723 ÷ 16384     		y = 0.59344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570556640625 × 2 - 1) × π
    0.14111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44332045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.587131146546448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44332045} λ = 0.44332045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587131146546448))-π/2
    2×atan(0.555919851808213)-π/2
    2×0.507376838664764-π/2
    1.01475367732953-1.57079632675     		φ = -0.55604265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44332045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55604265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.858897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9348 KachelY 9723 0.44332045 -0.55604265 25.400391 -31.858897
    Oben rechts KachelX + 1 9349 KachelY 9723 0.44370394 -0.55604265 25.422363 -31.858897
    Unten links KachelX 9348 KachelY + 1 9724 0.44332045 -0.55636834 25.400391 -31.877558
    Unten rechts KachelX + 1 9349 KachelY + 1 9724 0.44370394 -0.55636834 25.422363 -31.877558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55604265--0.55636834) × R
    0.000325690000000045 × 6371000     		dl = 2074.97099000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55604265--0.55636834) × R
    0.000325690000000045 × 6371000     		dr = 2074.97099000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44332045-0.44370394) × cos(-0.55604265) × R
    0.000383490000000042 × 0.849350560965995 × 6371000     		do = 2075.14585244714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44332045-0.44370394) × cos(-0.55636834) × R
    0.000383490000000042 × 0.849178607242166 × 6371000     		du = 2074.72573256589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55604265)-sin(-0.55636834))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849350560965995-0.849178607242166)×R²
    abs(0.44370394-0.44332045)×0.000171953723829277×R²
    0.000383490000000042×0.000171953723829277×6371000²
    0.000383490000000042×0.000171953723829277×40589641000000     		ar = 4305431.61362327m²