Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9346 / 6828
↖ ↑ ↗
← N 28.690588°
E 25.356445°		 ← 2 143.25 m → N 28.690588°
E 25.378418°		 →
↑
2 143.46 m
↓
↑
2 143.46 m
↓
N 28.671311°
E 25.356445°		 ← 2 143.64 m →
4 594 390 m²		 N 28.671311°
E 25.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570465087890625 y=0.416778564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570465087890625 × 214)
    floor (0.570465087890625 × 16384)
    floor (9346.5)     		tx = 9346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416778564453125 × 214)
    floor (0.416778564453125 × 16384)
    floor (6828.5)     		ty = 6828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9346 / 6828 ti = "14/9346/6828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9346/6828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9346 ÷ 214
    9346 ÷ 16384     		x = 0.5704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6828 ÷ 214
    6828 ÷ 16384     		y = 0.416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5704345703125 × 2 - 1) × π
    0.140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44255346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44255346} λ = 0.44255346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523087448654053))-π/2
    2×atan(1.68722884878796)-π/2
    2×1.03577077284025-π/2
    2.07154154568049-1.57079632675     		φ = 0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44255346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9346 KachelY 6828 0.44255346 0.50074522 25.356445 28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 9347 KachelY 6828 0.44293695 0.50074522 25.378418 28.690588
    Unten links KachelX 9346 KachelY + 1 6829 0.44255346 0.50040878 25.356445 28.671311
    Unten rechts KachelX + 1 9347 KachelY + 1 6829 0.44293695 0.50040878 25.378418 28.671311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50074522-0.50040878) × R
    0.000336439999999993 × 6371000     		dl = 2143.45923999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50074522-0.50040878) × R
    0.000336439999999993 × 6371000     		dr = 2143.45923999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44255346-0.44293695) × cos(0.50074522) × R
    0.000383489999999986 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 2143.24919369323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44255346-0.44293695) × cos(0.50040878) × R
    0.000383489999999986 × 0.877386509001661 × 6371000     		du = 2143.64369533925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50074522)-sin(0.50040878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.877386509001661)×R²
    abs(0.44293695-0.44255346)×0.00016146826207375×R²
    0.000383489999999986×0.00016146826207375×6371000²
    0.000383489999999986×0.00016146826207375×40589641000000     		ar = 4594390.13028045m²