Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9346 / 2945
↖ ↑ ↗
← N 83.439699°
W128.660889°		 ← 69.79 m → N 83.439699°
W128.655395°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 83.439071°
W128.660889°		 ← 69.80 m →
4 869 m²		 N 83.439071°
W128.655395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142616271972656 y=0.0449447631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142616271972656 × 216)
    floor (0.142616271972656 × 65536)
    floor (9346.5)     		tx = 9346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0449447631835938 × 216)
    floor (0.0449447631835938 × 65536)
    floor (2945.5)     		ty = 2945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9346 / 2945 ti = "16/9346/2945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9346/2945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9346 ÷ 216
    9346 ÷ 65536     		x = 0.142608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2945 ÷ 216
    2945 ÷ 65536     		y = 0.0449371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.71478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24555613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0449371337890625 × 2 - 1) × π
    0.910125732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.85924431473787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24555613} λ = -2.24555613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.85924431473787))-π/2
    2×atan(17.4483365025557)-π/2
    2×1.51354690005932-π/2
    3.02709380011863-1.57079632675     		φ = 1.45629747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24555613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.660889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45629747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.439699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9346 KachelY 2945 -2.24555613 1.45629747 -128.660889 83.439699
    Oben rechts KachelX + 1 9347 KachelY 2945 -2.24546025 1.45629747 -128.655395 83.439699
    Unten links KachelX 9346 KachelY + 1 2946 -2.24555613 1.45628652 -128.660889 83.439071
    Unten rechts KachelX + 1 9347 KachelY + 1 2946 -2.24546025 1.45628652 -128.655395 83.439071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45629747-1.45628652) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45629747-1.45628652) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24555613--2.24546025) × cos(1.45629747) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.114248840959357 × 6371000     		do = 69.7890735885856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24555613--2.24546025) × cos(1.45628652) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.114259719253705 × 6371000     		du = 69.7957186107875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45629747)-sin(1.45628652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.114248840959357-0.114259719253705)×R²
    abs(-2.24546025--2.24555613)×1.08782943472885e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.08782943472885e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.08782943472885e-05×40589641000000     		ar = 4868.88854304247m²