Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9345 / 2946
↖ ↑ ↗
← N 83.439071°
W128.666382°		 ← 69.79 m → N 83.439071°
W128.660889°		 →
↑
69.83 m
↓
↑
69.83 m
↓
N 83.438443°
W128.666382°		 ← 69.80 m →
4 873 m²		 N 83.438443°
W128.660889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142601013183594 y=0.0449600219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142601013183594 × 216)
    floor (0.142601013183594 × 65536)
    floor (9345.5)     		tx = 9345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0449600219726562 × 216)
    floor (0.0449600219726562 × 65536)
    floor (2946.5)     		ty = 2946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9345 / 2946 ti = "16/9345/2946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9345/2946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9345 ÷ 216
    9345 ÷ 65536     		x = 0.142593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2946 ÷ 216
    2946 ÷ 65536     		y = 0.044952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142593383789062 × 2 - 1) × π
    -0.714813232421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24565200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.044952392578125 × 2 - 1) × π
    0.91009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.85914844093863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24565200} λ = -2.24565200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.85914844093863))-π/2
    2×atan(17.4466637444329)-π/2
    2×1.51354142306343-π/2
    3.02708284612685-1.57079632675     		φ = 1.45628652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24565200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.666382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45628652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.439071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9345 KachelY 2946 -2.24565200 1.45628652 -128.666382 83.439071
    Oben rechts KachelX + 1 9346 KachelY 2946 -2.24555613 1.45628652 -128.660889 83.439071
    Unten links KachelX 9345 KachelY + 1 2947 -2.24565200 1.45627556 -128.666382 83.438443
    Unten rechts KachelX + 1 9346 KachelY + 1 2947 -2.24555613 1.45627556 -128.660889 83.438443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45628652-1.45627556) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dl = 69.8261600000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45628652-1.45627556) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dr = 69.8261600000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24565200--2.24555613) × cos(1.45628652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.114259719253705 × 6371000     		do = 69.7884391237948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24565200--2.24555613) × cos(1.45627556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.114270607468849 × 6371000     		du = 69.7950895124418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45628652)-sin(1.45627556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.114259719253705-0.114270607468849)×R²
    abs(-2.24555613--2.24565200)×1.088821514382e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.088821514382e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.088821514382e-05×40589641000000     		ar = 4873.29090230259m²