Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9344 / 2944
↖ ↑ ↗
← N 83.440327°
W128.671875°		 ← 69.78 m → N 83.440327°
W128.666382°		 →
↑
69.83 m
↓
↑
69.83 m
↓
N 83.439699°
W128.671875°		 ← 69.78 m →
4 872 m²		 N 83.439699°
W128.666382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142585754394531 y=0.0449295043945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142585754394531 × 216)
    floor (0.142585754394531 × 65536)
    floor (9344.5)     		tx = 9344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0449295043945312 × 216)
    floor (0.0449295043945312 × 65536)
    floor (2944.5)     		ty = 2944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9344 / 2944 ti = "16/9344/2944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9344/2944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9344 ÷ 216
    9344 ÷ 65536     		x = 0.142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2944 ÷ 216
    2944 ÷ 65536     		y = 0.044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142578125 × 2 - 1) × π
    -0.71484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24574787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.044921875 × 2 - 1) × π
    0.91015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.85934018853711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24574787} λ = -2.24574787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.85934018853711))-π/2
    2×atan(17.4500094210599)-π/2
    2×1.51355237653357-π/2
    3.02710475306714-1.57079632675     		φ = 1.45630843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24574787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45630843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.440327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9344 KachelY 2944 -2.24574787 1.45630843 -128.671875 83.440327
    Oben rechts KachelX + 1 9345 KachelY 2944 -2.24565200 1.45630843 -128.666382 83.440327
    Unten links KachelX 9344 KachelY + 1 2945 -2.24574787 1.45629747 -128.671875 83.439699
    Unten rechts KachelX + 1 9345 KachelY + 1 2945 -2.24565200 1.45629747 -128.666382 83.439699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45630843-1.45629747) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dl = 69.8261600000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45630843-1.45629747) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dr = 69.8261600000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24574787--2.24565200) × cos(1.45630843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.114237952716777 × 6371000     		do = 69.7751443892443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24574787--2.24565200) × cos(1.45629747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.114248840959357 × 6371000     		du = 69.781794794649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45630843)-sin(1.45629747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.114237952716777-0.114248840959357)×R²
    abs(-2.24565200--2.24574787)×1.08882425801232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.08882425801232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.08882425801232e-05×40589641000000     		ar = 4872.3625823283m²