Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 934 / 995
↖ ↑ ↗
← N 79.408165°
W138.955078°		 ← 898.19 m → N 79.408165°
W138.911133°		 →
↑
898.57 m
↓
↑
898.57 m
↓
N 79.400084°
W138.955078°		 ← 898.87 m →
807 389 m²		 N 79.400084°
W138.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.11407470703125 y=0.12152099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.11407470703125 × 213)
    floor (0.11407470703125 × 8192)
    floor (934.5)     		tx = 934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12152099609375 × 213)
    floor (0.12152099609375 × 8192)
    floor (995.5)     		ty = 995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 934 / 995 ti = "13/934/995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/934/995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 934 ÷ 213
    934 ÷ 8192     		x = 0.114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 995 ÷ 213
    995 ÷ 8192     		y = 0.1214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.77197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42522363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1214599609375 × 2 - 1) × π
    0.757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37843721154871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42522363} λ = -2.42522363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37843721154871))-π/2
    2×atan(10.7880302740964)-π/2
    2×1.47836513135516-π/2
    2.95673026271032-1.57079632675     		φ = 1.38593394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42522363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38593394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.408165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 934 KachelY 995 -2.42522363 1.38593394 -138.955078 79.408165
    Oben rechts KachelX + 1 935 KachelY 995 -2.42445664 1.38593394 -138.911133 79.408165
    Unten links KachelX 934 KachelY + 1 996 -2.42522363 1.38579290 -138.955078 79.400084
    Unten rechts KachelX + 1 935 KachelY + 1 996 -2.42445664 1.38579290 -138.911133 79.400084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38593394-1.38579290) × R
    0.000141039999999926 × 6371000     		dl = 898.565839999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38593394-1.38579290) × R
    0.000141039999999926 × 6371000     		dr = 898.565839999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42522363--2.42445664) × cos(1.38593394) × R
    0.000766990000000245 × 0.183811266778873 × 6371000     		do = 898.192521741648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42522363--2.42445664) × cos(1.38579290) × R
    0.000766990000000245 × 0.183949901847889 × 6371000     		du = 898.869961076153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38593394)-sin(1.38579290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183811266778873-0.183949901847889)×R²
    abs(-2.42445664--2.42522363)×0.000138635069015847×R²
    0.000766990000000245×0.000138635069015847×6371000²
    0.000766990000000245×0.000138635069015847×40589641000000     		ar = 807389.481040766m²