Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 934 / 557
↖ ↑ ↗
← N 63.154355°
W 15.820312°		 ← 8 826.74 m → N 63.154355°
W 15.644531°		 →
↑
8 838.87 m
↓
↑
8 838.87 m
↓
N 63.074866°
W 15.820312°		 ← 8 850.92 m →
78 125 281 m²		 N 63.074866°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456298828125 y=0.272216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456298828125 × 211)
    floor (0.456298828125 × 2048)
    floor (934.5)     		tx = 934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272216796875 × 211)
    floor (0.272216796875 × 2048)
    floor (557.5)     		ty = 557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 934 / 557 ti = "11/934/557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/934/557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 934 ÷ 211
    934 ÷ 2048     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 557 ÷ 211
    557 ÷ 2048     		y = 0.27197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27197265625 × 2 - 1) × π
    0.4560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43273805584424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43273805584424))-π/2
    2×atan(4.19015638172192)-π/2
    2×1.33652388096546-π/2
    2.67304776193092-1.57079632675     		φ = 1.10225144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10225144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.154355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 934 KachelY 557 -0.27611654 1.10225144 -15.820312 63.154355
    Oben rechts KachelX + 1 935 KachelY 557 -0.27304858 1.10225144 -15.644531 63.154355
    Unten links KachelX 934 KachelY + 1 558 -0.27611654 1.10086408 -15.820312 63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 935 KachelY + 1 558 -0.27304858 1.10086408 -15.644531 63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10225144-1.10086408) × R
    0.00138736000000006 × 6371000     		dl = 8838.87056000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10225144-1.10086408) × R
    0.00138736000000006 × 6371000     		dr = 8838.87056000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27304858) × cos(1.10225144) × R
    0.00306796000000004 × 0.451588473587174 × 6371000     		do = 8826.73618410037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27304858) × cos(1.10086408) × R
    0.00306796000000004 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 8850.92245227457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10225144)-sin(1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451588473587174-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.27304858--0.27611654)×0.00123740414336049×R²
    0.00306796000000004×0.00123740414336049×6371000²
    0.00306796000000004×0.00123740414336049×40589641000000     		ar = 78125280.7764894m²