Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 934 / 474
↖ ↑ ↗
← N 69.037142°
W 15.820312°		 ← 6 992.82 m → N 69.037142°
W 15.644531°		 →
↑
7 002.88 m
↓
↑
7 002.88 m
↓
N 68.974163°
W 15.820312°		 ← 7 012.88 m →
49 040 086 m²		 N 68.974163°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 934 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456298828125 y=0.231689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456298828125 × 211)
    floor (0.456298828125 × 2048)
    floor (934.5)     		tx = 934
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231689453125 × 211)
    floor (0.231689453125 × 2048)
    floor (474.5)     		ty = 474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 934 / 474 ti = "11/934/474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/934/474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 934 ÷ 211
    934 ÷ 2048     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 474 ÷ 211
    474 ÷ 2048     		y = 0.2314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2314453125 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68737886662598))-π/2
    2×atan(5.40529412396801)-π/2
    2×1.38786087791554-π/2
    2.77572175583108-1.57079632675     		φ = 1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 934 KachelY 474 -0.27611654 1.20492543 -15.820312 69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 935 KachelY 474 -0.27304858 1.20492543 -15.644531 69.037142
    Unten links KachelX 934 KachelY + 1 475 -0.27611654 1.20382625 -15.820312 68.974163
    Unten rechts KachelX + 1 935 KachelY + 1 475 -0.27304858 1.20382625 -15.644531 68.974163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20492543-1.20382625) × R
    0.00109917999999998 × 6371000     		dl = 7002.87577999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20492543-1.20382625) × R
    0.00109917999999998 × 6371000     		dr = 7002.87577999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27304858) × cos(1.20492543) × R
    0.00306796000000004 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 6992.81982688546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27304858) × cos(1.20382625) × R
    0.00306796000000004 × 0.35878889613588 × 6371000     		du = 7012.87813397802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20492543)-sin(1.20382625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.35878889613588)×R²
    abs(-0.27304858--0.27611654)×0.00102621173826301×R²
    0.00306796000000004×0.00102621173826301×6371000²
    0.00306796000000004×0.00102621173826301×40589641000000     		ar = 49040086.453566m²