Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9339 / 9675
↖ ↑ ↗
← S 30.958768°
E 25.202637°		 ← 2 095.20 m → S 30.958768°
E 25.224610°		 →
↑
2 094.98 m
↓
↑
2 094.98 m
↓
S 30.977609°
E 25.202637°		 ← 2 094.79 m →
4 388 968 m²		 S 30.977609°
E 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570037841796875 y=0.590545654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570037841796875 × 214)
    floor (0.570037841796875 × 16384)
    floor (9339.5)     		tx = 9339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590545654296875 × 214)
    floor (0.590545654296875 × 16384)
    floor (9675.5)     		ty = 9675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9339 / 9675 ti = "14/9339/9675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9339/9675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9339 ÷ 214
    9339 ÷ 16384     		x = 0.57000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9675 ÷ 214
    9675 ÷ 16384     		y = 0.59051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57000732421875 × 2 - 1) × π
    0.1400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43986899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.1810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568723377092346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43986899} λ = 0.43986899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568723377092346))-π/2
    2×atan(0.566247862462689)-π/2
    2×0.515231941442894-π/2
    1.03046388288579-1.57079632675     		φ = -0.54033244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43986899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54033244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.958768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9339 KachelY 9675 0.43986899 -0.54033244 25.202637 -30.958768
    Oben rechts KachelX + 1 9340 KachelY 9675 0.44025249 -0.54033244 25.224610 -30.958768
    Unten links KachelX 9339 KachelY + 1 9676 0.43986899 -0.54066127 25.202637 -30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 9340 KachelY + 1 9676 0.44025249 -0.54066127 25.224610 -30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54033244--0.54066127) × R
    0.000328829999999947 × 6371000     		dl = 2094.97592999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54033244--0.54066127) × R
    0.000328829999999947 × 6371000     		dr = 2094.97592999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43986899-0.44025249) × cos(-0.54033244) × R
    0.000383499999999981 × 0.85753771460249 × 6371000     		do = 2095.2034610273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43986899-0.44025249) × cos(-0.54066127) × R
    0.000383499999999981 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 2094.79004987663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54033244)-sin(-0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85753771460249-0.857368511152834)×R²
    abs(0.44025249-0.43986899)×0.00016920344965532×R²
    0.000383499999999981×0.00016920344965532×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016920344965532×40589641000000     		ar = 4388967.81564822m²