Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9338 / 6835
↖ ↑ ↗
← N 28.555576°
E 25.180664°		 ← 2 146.01 m → N 28.555576°
E 25.202637°		 →
↑
2 146.20 m
↓
↑
2 146.20 m
↓
N 28.536275°
E 25.180664°		 ← 2 146.40 m →
4 606 180 m²		 N 28.536275°
E 25.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569976806640625 y=0.417205810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569976806640625 × 214)
    floor (0.569976806640625 × 16384)
    floor (9338.5)     		tx = 9338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417205810546875 × 214)
    floor (0.417205810546875 × 16384)
    floor (6835.5)     		ty = 6835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9338 / 6835 ti = "14/9338/6835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9338/6835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9338 ÷ 214
    9338 ÷ 16384     		x = 0.5699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6835 ÷ 214
    6835 ÷ 16384     		y = 0.41717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5699462890625 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41717529296875 × 2 - 1) × π
    0.1656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52040298227533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43948550} λ = 0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52040298227533))-π/2
    2×atan(1.68270561362288)-π/2
    2×1.03459257432188-π/2
    2.06918514864376-1.57079632675     		φ = 0.49838882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49838882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.555576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9338 KachelY 6835 0.43948550 0.49838882 25.180664 28.555576
    Oben rechts KachelX + 1 9339 KachelY 6835 0.43986899 0.49838882 25.202637 28.555576
    Unten links KachelX 9338 KachelY + 1 6836 0.43948550 0.49805195 25.180664 28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 9339 KachelY + 1 6836 0.43986899 0.49805195 25.202637 28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49838882-0.49805195) × R
    0.000336869999999989 × 6371000     		dl = 2146.19876999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49838882-0.49805195) × R
    0.000336869999999989 × 6371000     		dr = 2146.19876999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43948550-0.43986899) × cos(0.49838882) × R
    0.000383490000000042 × 0.878353863336989 × 6371000     		do = 2146.00714975881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43948550-0.43986899) × cos(0.49805195) × R
    0.000383490000000042 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 2146.40045289339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49838882)-sin(0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878353863336989-0.878514841052166)×R²
    abs(0.43986899-0.43948550)×0.000160977715177091×R²
    0.000383490000000042×0.000160977715177091×6371000²
    0.000383490000000042×0.000160977715177091×40589641000000     		ar = 4606180.00213493m²