Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9338 / 6719
↖ ↑ ↗
← N 30.770159°
E 25.180664°		 ← 2 099.27 m → N 30.770159°
E 25.202637°		 →
↑
2 099.50 m
↓
↑
2 099.50 m
↓
N 30.751278°
E 25.180664°		 ← 2 099.69 m →
4 407 858 m²		 N 30.751278°
E 25.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569976806640625 y=0.410125732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569976806640625 × 214)
    floor (0.569976806640625 × 16384)
    floor (9338.5)     		tx = 9338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410125732421875 × 214)
    floor (0.410125732421875 × 16384)
    floor (6719.5)     		ty = 6719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9338 / 6719 ti = "14/9338/6719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9338/6719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9338 ÷ 214
    9338 ÷ 16384     		x = 0.5699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6719 ÷ 214
    6719 ÷ 16384     		y = 0.41009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5699462890625 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41009521484375 × 2 - 1) × π
    0.1798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.564888425122742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43948550} λ = 0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564888425122742))-π/2
    2×atan(1.75925148350265)-π/2
    2×1.053918457357-π/2
    2.10783691471401-1.57079632675     		φ = 0.53704059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53704059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.770159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9338 KachelY 6719 0.43948550 0.53704059 25.180664 30.770159
    Oben rechts KachelX + 1 9339 KachelY 6719 0.43986899 0.53704059 25.202637 30.770159
    Unten links KachelX 9338 KachelY + 1 6720 0.43948550 0.53671105 25.180664 30.751278
    Unten rechts KachelX + 1 9339 KachelY + 1 6720 0.43986899 0.53671105 25.202637 30.751278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53704059-0.53671105) × R
    0.000329540000000073 × 6371000     		dl = 2099.49934000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53704059-0.53671105) × R
    0.000329540000000073 × 6371000     		dr = 2099.49934000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43948550-0.43986899) × cos(0.53704059) × R
    0.000383490000000042 × 0.859226462388219 × 6371000     		do = 2099.2748008665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43948550-0.43986899) × cos(0.53671105) × R
    0.000383490000000042 × 0.859395006889381 × 6371000     		du = 2099.68659128452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53704059)-sin(0.53671105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859226462388219-0.859395006889381)×R²
    abs(0.43986899-0.43948550)×0.000168544501162105×R²
    0.000383490000000042×0.000168544501162105×6371000²
    0.000383490000000042×0.000168544501162105×40589641000000     		ar = 4407858.37564437m²