Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9337 / 9673
↖ ↑ ↗
← S 30.921076°
E 25.158691°		 ← 2 096.03 m → S 30.921076°
E 25.180664°		 →
↑
2 095.80 m
↓
↑
2 095.80 m
↓
S 30.939924°
E 25.158691°		 ← 2 095.62 m →
4 392 435 m²		 S 30.939924°
E 25.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569915771484375 y=0.590423583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569915771484375 × 214)
    floor (0.569915771484375 × 16384)
    floor (9337.5)     		tx = 9337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590423583984375 × 214)
    floor (0.590423583984375 × 16384)
    floor (9673.5)     		ty = 9673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9337 / 9673 ti = "14/9337/9673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9337/9673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9337 ÷ 214
    9337 ÷ 16384     		x = 0.56988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9673 ÷ 214
    9673 ÷ 16384     		y = 0.59039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56988525390625 × 2 - 1) × π
    0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59039306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.567956386698425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43910200} λ = 0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567956386698425))-π/2
    2×atan(0.566682335730889)-π/2
    2×0.515560867898861-π/2
    1.03112173579772-1.57079632675     		φ = -0.53967459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53967459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.921076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9337 KachelY 9673 0.43910200 -0.53967459 25.158691 -30.921076
    Oben rechts KachelX + 1 9338 KachelY 9673 0.43948550 -0.53967459 25.180664 -30.921076
    Unten links KachelX 9337 KachelY + 1 9674 0.43910200 -0.54000355 25.158691 -30.939924
    Unten rechts KachelX + 1 9338 KachelY + 1 9674 0.43948550 -0.54000355 25.180664 -30.939924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53967459--0.54000355) × R
    0.000328960000000045 × 6371000     		dl = 2095.80416000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53967459--0.54000355) × R
    0.000328960000000045 × 6371000     		dr = 2095.80416000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43910200-0.43948550) × cos(-0.53967459) × R
    0.000383499999999981 × 0.857875940941814 × 6371000     		do = 2096.0298421703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43910200-0.43948550) × cos(-0.54000355) × R
    0.000383499999999981 × 0.857706856175649 × 6371000     		du = 2095.61672099645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53967459)-sin(-0.54000355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857875940941814-0.857706856175649)×R²
    abs(0.43948550-0.43910200)×0.000169084766165062×R²
    0.000383499999999981×0.000169084766165062×6371000²
    0.000383499999999981×0.000169084766165062×40589641000000     		ar = 4392435.19177835m²