Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9332 / 7028
↖ ↑ ↗
← N 24.766785°
E 25.048828°		 ← 2 218.55 m → N 24.766785°
E 25.070801°		 →
↑
2 218.70 m
↓
↑
2 218.70 m
↓
N 24.746832°
E 25.048828°		 ← 2 218.90 m →
4 922 687 m²		 N 24.746832°
E 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569610595703125 y=0.428985595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569610595703125 × 214)
    floor (0.569610595703125 × 16384)
    floor (9332.5)     		tx = 9332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428985595703125 × 214)
    floor (0.428985595703125 × 16384)
    floor (7028.5)     		ty = 7028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9332 / 7028 ti = "14/9332/7028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9332/7028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9332 ÷ 214
    9332 ÷ 16384     		x = 0.569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7028 ÷ 214
    7028 ÷ 16384     		y = 0.428955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569580078125 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    0.14208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446388409261963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43718452} λ = 0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446388409261963))-π/2
    2×atan(1.56265829963318)-π/2
    2×1.00152913091972-π/2
    2.00305826183944-1.57079632675     		φ = 0.43226194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43226194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.766785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9332 KachelY 7028 0.43718452 0.43226194 25.048828 24.766785
    Oben rechts KachelX + 1 9333 KachelY 7028 0.43756802 0.43226194 25.070801 24.766785
    Unten links KachelX 9332 KachelY + 1 7029 0.43718452 0.43191369 25.048828 24.746832
    Unten rechts KachelX + 1 9333 KachelY + 1 7029 0.43756802 0.43191369 25.070801 24.746832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43226194-0.43191369) × R
    0.000348249999999994 × 6371000     		dl = 2218.70074999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43226194-0.43191369) × R
    0.000348249999999994 × 6371000     		dr = 2218.70074999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43718452-0.43756802) × cos(0.43226194) × R
    0.000383499999999981 × 0.908020488433387 × 6371000     		do = 2218.54693694868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43718452-0.43756802) × cos(0.43191369) × R
    0.000383499999999981 × 0.908166324264957 × 6371000     		du = 2218.90325450049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43226194)-sin(0.43191369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908020488433387-0.908166324264957)×R²
    abs(0.43756802-0.43718452)×0.000145835831569352×R²
    0.000383499999999981×0.000145835831569352×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145835831569352×40589641000000     		ar = 4922687.08367879m²