Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9331 / 7026
↖ ↑ ↗
← N 24.806682°
E 25.026856°		 ← 2 217.78 m → N 24.806682°
E 25.048828°		 →
↑
2 218 m
↓
↑
2 218 m
↓
N 24.786735°
E 25.026856°		 ← 2 218.13 m →
4 919 422 m²		 N 24.786735°
E 25.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569549560546875 y=0.428863525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569549560546875 × 214)
    floor (0.569549560546875 × 16384)
    floor (9331.5)     		tx = 9331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428863525390625 × 214)
    floor (0.428863525390625 × 16384)
    floor (7026.5)     		ty = 7026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9331 / 7026 ti = "14/9331/7026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9331/7026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9331 ÷ 214
    9331 ÷ 16384     		x = 0.56951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7026 ÷ 214
    7026 ÷ 16384     		y = 0.4288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56951904296875 × 2 - 1) × π
    0.1390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43680103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    0.142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.447155399655884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43680103} λ = 0.43680103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447155399655884))-π/2
    2×atan(1.56385730329134)-π/2
    2×1.00187729645055-π/2
    2.0037545929011-1.57079632675     		φ = 0.43295827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43680103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.026856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43295827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.806682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9331 KachelY 7026 0.43680103 0.43295827 25.026856 24.806682
    Oben rechts KachelX + 1 9332 KachelY 7026 0.43718452 0.43295827 25.048828 24.806682
    Unten links KachelX 9331 KachelY + 1 7027 0.43680103 0.43261013 25.026856 24.786735
    Unten rechts KachelX + 1 9332 KachelY + 1 7027 0.43718452 0.43261013 25.048828 24.786735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43295827-0.43261013) × R
    0.000348139999999997 × 6371000     		dl = 2217.99993999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43295827-0.43261013) × R
    0.000348139999999997 × 6371000     		dr = 2217.99993999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43680103-0.43718452) × cos(0.43295827) × R
    0.000383490000000042 × 0.907728557743918 × 6371000     		do = 2217.77583758555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43680103-0.43718452) × cos(0.43261013) × R
    0.000383490000000042 × 0.907874567633369 × 6371000     		du = 2218.13257110694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43295827)-sin(0.43261013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907728557743918-0.907874567633369)×R²
    abs(0.43718452-0.43680103)×0.000146009889450682×R²
    0.000383490000000042×0.000146009889450682×6371000²
    0.000383490000000042×0.000146009889450682×40589641000000     		ar = 4919422.34184925m²