Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 933 / 918
↖ ↑ ↗
← S 80.532071°
E148.007813°		 ← 6 430.45 m → S 80.532071°
E148.359375°		 →
↑
6 411.07 m
↓
↑
6 411.07 m
↓
S 80.589727°
E148.007813°		 ← 6 391.64 m →
41 101 699 m²		 S 80.589727°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.91162109375 y=0.89697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.91162109375 × 210)
    floor (0.91162109375 × 1024)
    floor (933.5)     		tx = 933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89697265625 × 210)
    floor (0.89697265625 × 1024)
    floor (918.5)     		ty = 918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 933 / 918 ti = "10/933/918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/933/918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 933 ÷ 210
    933 ÷ 1024     		x = 0.9111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 918 ÷ 210
    918 ÷ 1024     		y = 0.896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9111328125 × 2 - 1) × π
    0.822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58322365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896484375 × 2 - 1) × π
    -0.79296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49118479945508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58322365} λ = 2.58322365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49118479945508))-π/2
    2×atan(0.0828117930614009)-π/2
    2×0.0826232661358761-π/2
    0.165246532271752-1.57079632675     		φ = -1.40554979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58322365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40554979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.532071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 933 KachelY 918 2.58322365 -1.40554979 148.007813 -80.532071
    Oben rechts KachelX + 1 934 KachelY 918 2.58935957 -1.40554979 148.359375 -80.532071
    Unten links KachelX 933 KachelY + 1 919 2.58322365 -1.40655608 148.007813 -80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 934 KachelY + 1 919 2.58935957 -1.40655608 148.359375 -80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40554979--1.40655608) × R
    0.00100629000000008 × 6371000     		dl = 6411.07359000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40554979--1.40655608) × R
    0.00100629000000008 × 6371000     		dr = 6411.07359000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58322365-2.58935957) × cos(-1.40554979) × R
    0.00613592000000018 × 0.164495514416111 × 6371000     		do = 6430.4498194356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58322365-2.58935957) × cos(-1.40655608) × R
    0.00613592000000018 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 6391.64460214938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40554979)-sin(-1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164495514416111-0.163502849150264)×R²
    abs(2.58935957-2.58322365)×0.000992665265846931×R²
    0.00613592000000018×0.000992665265846931×6371000²
    0.00613592000000018×0.000992665265846931×40589641000000     		ar = 41101698.9257242m²