Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9328 / 6896
↖ ↑ ↗
← N 27.371767°
E 24.960937°		 ← 2 169.73 m → N 27.371767°
E 24.982910°		 →
↑
2 169.90 m
↓
↑
2 169.90 m
↓
N 27.352253°
E 24.960937°		 ← 2 170.12 m →
4 708 518 m²		 N 27.352253°
E 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569366455078125 y=0.420928955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569366455078125 × 214)
    floor (0.569366455078125 × 16384)
    floor (9328.5)     		tx = 9328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420928955078125 × 214)
    floor (0.420928955078125 × 16384)
    floor (6896.5)     		ty = 6896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9328 / 6896 ti = "14/9328/6896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9328/6896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9328 ÷ 214
    9328 ÷ 16384     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6896 ÷ 214
    6896 ÷ 16384     		y = 0.4208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497009775260742))-π/2
    2×atan(1.64379858720132)-π/2
    2×1.02426189413306-π/2
    2.04852378826613-1.57079632675     		φ = 0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9328 KachelY 6896 0.43565054 0.47772746 24.960937 27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 9329 KachelY 6896 0.43603404 0.47772746 24.982910 27.371767
    Unten links KachelX 9328 KachelY + 1 6897 0.43565054 0.47738687 24.960937 27.352253
    Unten rechts KachelX + 1 9329 KachelY + 1 6897 0.43603404 0.47738687 24.982910 27.352253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47772746-0.47738687) × R
    0.000340589999999974 × 6371000     		dl = 2169.89888999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47772746-0.47738687) × R
    0.000340589999999974 × 6371000     		dr = 2169.89888999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43603404) × cos(0.47772746) × R
    0.000383500000000037 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 2169.73403102552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43603404) × cos(0.47738687) × R
    0.000383500000000037 × 0.888198582025159 × 6371000     		du = 2170.11649919276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47772746)-sin(0.47738687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.888198582025159)×R²
    abs(0.43603404-0.43565054)×0.000156538915739524×R²
    0.000383500000000037×0.000156538915739524×6371000²
    0.000383500000000037×0.000156538915739524×40589641000000     		ar = 4708518.46965978m²