Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9327 / 6746
↖ ↑ ↗
← N 30.259067°
E 24.938965°		 ← 2 110.34 m → N 30.259067°
E 24.960937°		 →
↑
2 110.58 m
↓
↑
2 110.58 m
↓
N 30.240086°
E 24.938965°		 ← 2 110.75 m →
4 454 484 m²		 N 30.240086°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569305419921875 y=0.411773681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569305419921875 × 214)
    floor (0.569305419921875 × 16384)
    floor (9327.5)     		tx = 9327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411773681640625 × 214)
    floor (0.411773681640625 × 16384)
    floor (6746.5)     		ty = 6746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9327 / 6746 ti = "14/9327/6746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9327/6746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9327 ÷ 214
    9327 ÷ 16384     		x = 0.56927490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6746 ÷ 214
    6746 ÷ 16384     		y = 0.4117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56927490234375 × 2 - 1) × π
    0.1385498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43526705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4117431640625 × 2 - 1) × π
    0.176513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.55453405480481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43526705} λ = 0.43526705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55453405480481))-π/2
    2×atan(1.74112952480453)-π/2
    2×1.04945833902975-π/2
    2.09891667805951-1.57079632675     		φ = 0.52812035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43526705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.938965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52812035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.259067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9327 KachelY 6746 0.43526705 0.52812035 24.938965 30.259067
    Oben rechts KachelX + 1 9328 KachelY 6746 0.43565054 0.52812035 24.960937 30.259067
    Unten links KachelX 9327 KachelY + 1 6747 0.43526705 0.52778907 24.938965 30.240086
    Unten rechts KachelX + 1 9328 KachelY + 1 6747 0.43565054 0.52778907 24.960937 30.240086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52812035-0.52778907) × R
    0.000331280000000045 × 6371000     		dl = 2110.58488000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52812035-0.52778907) × R
    0.000331280000000045 × 6371000     		dr = 2110.58488000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43526705-0.43565054) × cos(0.52812035) × R
    0.000383489999999986 × 0.863755771515487 × 6371000     		do = 2110.34087591442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43526705-0.43565054) × cos(0.52778907) × R
    0.000383489999999986 × 0.863922659643392 × 6371000     		du = 2110.7486194568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52812035)-sin(0.52778907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863755771515487-0.863922659643392)×R²
    abs(0.43565054-0.43526705)×0.000166888127904996×R²
    0.000383489999999986×0.000166888127904996×6371000²
    0.000383489999999986×0.000166888127904996×40589641000000     		ar = 4454483.87376773m²