Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9326 / 11348
↖ ↑ ↗
← S 56.800878°
E 24.916992°		 ← 1 337.82 m → S 56.800878°
E 24.938965°		 →
↑
1 337.59 m
↓
↑
1 337.59 m
↓
S 56.812907°
E 24.916992°		 ← 1 337.39 m →
1 789 167 m²		 S 56.812907°
E 24.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569244384765625 y=0.692657470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569244384765625 × 214)
    floor (0.569244384765625 × 16384)
    floor (9326.5)     		tx = 9326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692657470703125 × 214)
    floor (0.692657470703125 × 16384)
    floor (11348.5)     		ty = 11348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9326 / 11348 ti = "14/9326/11348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9326/11348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9326 ÷ 214
    9326 ÷ 16384     		x = 0.5692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11348 ÷ 214
    11348 ÷ 16384     		y = 0.692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5692138671875 × 2 - 1) × π
    0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.38525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21031084160718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43488355} λ = 0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21031084160718))-π/2
    2×atan(0.298104601713085)-π/2
    2×0.289716991119516-π/2
    0.579433982239032-1.57079632675     		φ = -0.99136234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99136234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.800878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9326 KachelY 11348 0.43488355 -0.99136234 24.916992 -56.800878
    Oben rechts KachelX + 1 9327 KachelY 11348 0.43526705 -0.99136234 24.938965 -56.800878
    Unten links KachelX 9326 KachelY + 1 11349 0.43488355 -0.99157229 24.916992 -56.812907
    Unten rechts KachelX + 1 9327 KachelY + 1 11349 0.43526705 -0.99157229 24.938965 -56.812907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99136234--0.99157229) × R
    0.000209950000000014 × 6371000     		dl = 1337.59145000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99136234--0.99157229) × R
    0.000209950000000014 × 6371000     		dr = 1337.59145000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43488355-0.43526705) × cos(-0.99136234) × R
    0.000383499999999981 × 0.547550400126254 × 6371000     		do = 1337.81812029481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43488355-0.43526705) × cos(-0.99157229) × R
    0.000383499999999981 × 0.547374707630456 × 6371000     		du = 1337.38885459721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99136234)-sin(-0.99157229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547550400126254-0.547374707630456)×R²
    abs(0.43526705-0.43488355)×0.000175692495797741×R²
    0.000383499999999981×0.000175692495797741×6371000²
    0.000383499999999981×0.000175692495797741×40589641000000     		ar = 1789166.99487044m²