Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9325 / 9555
↖ ↑ ↗
← S 28.671311°
E 24.895020°		 ← 2 143.64 m → S 28.671311°
E 24.916992°		 →
↑
2 143.46 m
↓
↑
2 143.46 m
↓
S 28.690588°
E 24.895020°		 ← 2 143.25 m →
4 594 390 m²		 S 28.690588°
E 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569183349609375 y=0.583221435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569183349609375 × 214)
    floor (0.569183349609375 × 16384)
    floor (9325.5)     		tx = 9325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583221435546875 × 214)
    floor (0.583221435546875 × 16384)
    floor (9555.5)     		ty = 9555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9325 / 9555 ti = "14/9325/9555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9325/9555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9325 ÷ 214
    9325 ÷ 16384     		x = 0.56915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9555 ÷ 214
    9555 ÷ 16384     		y = 0.58319091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56915283203125 × 2 - 1) × π
    0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58319091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1663818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.522703953457092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43450006} λ = 0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522703953457092))-π/2
    2×atan(0.592915163499771)-π/2
    2×0.535193775231447-π/2
    1.07038755046289-1.57079632675     		φ = -0.50040878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50040878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.671311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9325 KachelY 9555 0.43450006 -0.50040878 24.895020 -28.671311
    Oben rechts KachelX + 1 9326 KachelY 9555 0.43488355 -0.50040878 24.916992 -28.671311
    Unten links KachelX 9325 KachelY + 1 9556 0.43450006 -0.50074522 24.895020 -28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 9326 KachelY + 1 9556 0.43488355 -0.50074522 24.916992 -28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50040878--0.50074522) × R
    0.000336439999999993 × 6371000     		dl = 2143.45923999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50040878--0.50074522) × R
    0.000336439999999993 × 6371000     		dr = 2143.45923999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43450006-0.43488355) × cos(-0.50040878) × R
    0.000383489999999986 × 0.877386509001661 × 6371000     		do = 2143.64369533925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43450006-0.43488355) × cos(-0.50074522) × R
    0.000383489999999986 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 2143.24919369323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50040878)-sin(-0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877386509001661-0.877225040739587)×R²
    abs(0.43488355-0.43450006)×0.00016146826207375×R²
    0.000383489999999986×0.00016146826207375×6371000²
    0.000383489999999986×0.00016146826207375×40589641000000     		ar = 4594390.13028045m²