Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9325 / 7019
↖ ↑ ↗
← N 24.946219°
E 24.895020°		 ← 2 215.27 m → N 24.946219°
E 24.916992°		 →
↑
2 215.52 m
↓
↑
2 215.52 m
↓
N 24.926295°
E 24.895020°		 ← 2 215.63 m →
4 908 368 m²		 N 24.926295°
E 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569183349609375 y=0.428436279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569183349609375 × 214)
    floor (0.569183349609375 × 16384)
    floor (9325.5)     		tx = 9325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428436279296875 × 214)
    floor (0.428436279296875 × 16384)
    floor (7019.5)     		ty = 7019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9325 / 7019 ti = "14/9325/7019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9325/7019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9325 ÷ 214
    9325 ÷ 16384     		x = 0.56915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7019 ÷ 214
    7019 ÷ 16384     		y = 0.42840576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56915283203125 × 2 - 1) × π
    0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42840576171875 × 2 - 1) × π
    0.1431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449839866034607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43450006} λ = 0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449839866034607))-π/2
    2×atan(1.56806106554788)-π/2
    2×1.00309499277732-π/2
    2.00618998555463-1.57079632675     		φ = 0.43539366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43539366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.946219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9325 KachelY 7019 0.43450006 0.43539366 24.895020 24.946219
    Oben rechts KachelX + 1 9326 KachelY 7019 0.43488355 0.43539366 24.916992 24.946219
    Unten links KachelX 9325 KachelY + 1 7020 0.43450006 0.43504591 24.895020 24.926295
    Unten rechts KachelX + 1 9326 KachelY + 1 7020 0.43488355 0.43504591 24.916992 24.926295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43539366-0.43504591) × R
    0.000347750000000036 × 6371000     		dl = 2215.51525000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43539366-0.43504591) × R
    0.000347750000000036 × 6371000     		dr = 2215.51525000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43450006-0.43488355) × cos(0.43539366) × R
    0.000383489999999986 × 0.906704079617013 × 6371000     		do = 2215.27281747355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43450006-0.43488355) × cos(0.43504591) × R
    0.000383489999999986 × 0.906850694392099 × 6371000     		du = 2215.63102886047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43539366)-sin(0.43504591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906704079617013-0.906850694392099)×R²
    abs(0.43488355-0.43450006)×0.000146614775085818×R²
    0.000383489999999986×0.000146614775085818×6371000²
    0.000383489999999986×0.000146614775085818×40589641000000     		ar = 4908367.5708826m²