Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9325 / 11347
↖ ↑ ↗
← S 56.788845°
E 24.895020°		 ← 1 338.21 m → S 56.788845°
E 24.916992°		 →
↑
1 337.97 m
↓
↑
1 337.97 m
↓
S 56.800878°
E 24.895020°		 ← 1 337.78 m →
1 790 206 m²		 S 56.800878°
E 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569183349609375 y=0.692596435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569183349609375 × 214)
    floor (0.569183349609375 × 16384)
    floor (9325.5)     		tx = 9325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692596435546875 × 214)
    floor (0.692596435546875 × 16384)
    floor (11347.5)     		ty = 11347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9325 / 11347 ti = "14/9325/11347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9325/11347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9325 ÷ 214
    9325 ÷ 16384     		x = 0.56915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11347 ÷ 214
    11347 ÷ 16384     		y = 0.69256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56915283203125 × 2 - 1) × π
    0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69256591796875 × 2 - 1) × π
    -0.3851318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20992734641022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43450006} λ = 0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20992734641022))-π/2
    2×atan(0.298218945319744)-π/2
    2×0.28982199943988-π/2
    0.579643998879759-1.57079632675     		φ = -0.99115233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99115233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.788845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9325 KachelY 11347 0.43450006 -0.99115233 24.895020 -56.788845
    Oben rechts KachelX + 1 9326 KachelY 11347 0.43488355 -0.99115233 24.916992 -56.788845
    Unten links KachelX 9325 KachelY + 1 11348 0.43450006 -0.99136234 24.895020 -56.800878
    Unten rechts KachelX + 1 9326 KachelY + 1 11348 0.43488355 -0.99136234 24.916992 -56.800878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99115233--0.99136234) × R
    0.000210009999999983 × 6371000     		dl = 1337.97370999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99115233--0.99136234) × R
    0.000210009999999983 × 6371000     		dr = 1337.97370999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43450006-0.43488355) × cos(-0.99115233) × R
    0.000383489999999986 × 0.547726118686039 × 6371000     		do = 1338.21255404298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43450006-0.43488355) × cos(-0.99136234) × R
    0.000383489999999986 × 0.547550400126254 × 6371000     		du = 1337.78323585883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99115233)-sin(-0.99136234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547726118686039-0.547550400126254)×R²
    abs(0.43488355-0.43450006)×0.000175718559784932×R²
    0.000383489999999986×0.000175718559784932×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175718559784932×40589641000000     		ar = 1790206.01405996m²