Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9324 / 6636
↖ ↑ ↗
← N 32.324276°
E 24.873047°		 ← 2 064.66 m → N 32.324276°
E 24.895020°		 →
↑
2 064.84 m
↓
↑
2 064.84 m
↓
N 32.305706°
E 24.873047°		 ← 2 065.08 m →
4 263 625 m²		 N 32.305706°
E 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569122314453125 y=0.405059814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569122314453125 × 214)
    floor (0.569122314453125 × 16384)
    floor (9324.5)     		tx = 9324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405059814453125 × 214)
    floor (0.405059814453125 × 16384)
    floor (6636.5)     		ty = 6636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9324 / 6636 ti = "14/9324/6636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9324/6636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9324 ÷ 214
    9324 ÷ 16384     		x = 0.569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6636 ÷ 214
    6636 ÷ 16384     		y = 0.405029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569091796875 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405029296875 × 2 - 1) × π
    0.18994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.596718526470459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43411656} λ = 0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596718526470459))-π/2
    2×atan(1.8161493654074)-π/2
    2×1.0674806820642-π/2
    2.13496136412841-1.57079632675     		φ = 0.56416504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56416504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.324276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9324 KachelY 6636 0.43411656 0.56416504 24.873047 32.324276
    Oben rechts KachelX + 1 9325 KachelY 6636 0.43450006 0.56416504 24.895020 32.324276
    Unten links KachelX 9324 KachelY + 1 6637 0.43411656 0.56384094 24.873047 32.305706
    Unten rechts KachelX + 1 9325 KachelY + 1 6637 0.43450006 0.56384094 24.895020 32.305706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56416504-0.56384094) × R
    0.000324100000000049 × 6371000     		dl = 2064.84110000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56416504-0.56384094) × R
    0.000324100000000049 × 6371000     		dr = 2064.84110000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43411656-0.43450006) × cos(0.56416504) × R
    0.000383500000000037 × 0.845035356755228 × 6371000     		do = 2064.65671890008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43411656-0.43450006) × cos(0.56384094) × R
    0.000383500000000037 × 0.845208612021529 × 6371000     		du = 2065.08002976724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56416504)-sin(0.56384094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845035356755228-0.845208612021529)×R²
    abs(0.43450006-0.43411656)×0.000173255266300854×R²
    0.000383500000000037×0.000173255266300854×6371000²
    0.000383500000000037×0.000173255266300854×40589641000000     		ar = 4263625.12273622m²