Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9323 / 6748
↖ ↑ ↗
← N 30.221102°
E 24.851074°		 ← 2 111.16 m → N 30.221102°
E 24.873047°		 →
↑
2 111.41 m
↓
↑
2 111.41 m
↓
N 30.202113°
E 24.851074°		 ← 2 111.56 m →
4 457 953 m²		 N 30.202113°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569061279296875 y=0.411895751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569061279296875 × 214)
    floor (0.569061279296875 × 16384)
    floor (9323.5)     		tx = 9323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411895751953125 × 214)
    floor (0.411895751953125 × 16384)
    floor (6748.5)     		ty = 6748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9323 / 6748 ti = "14/9323/6748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9323/6748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9323 ÷ 214
    9323 ÷ 16384     		x = 0.56903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6748 ÷ 214
    6748 ÷ 16384     		y = 0.411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56903076171875 × 2 - 1) × π
    0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411865234375 × 2 - 1) × π
    0.17626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.553767064410889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43373307} λ = 0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.553767064410889))-π/2
    2×atan(1.73979460718437)-π/2
    2×1.04912702884383-π/2
    2.09825405768766-1.57079632675     		φ = 0.52745773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52745773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.221102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9323 KachelY 6748 0.43373307 0.52745773 24.851074 30.221102
    Oben rechts KachelX + 1 9324 KachelY 6748 0.43411656 0.52745773 24.873047 30.221102
    Unten links KachelX 9323 KachelY + 1 6749 0.43373307 0.52712632 24.851074 30.202113
    Unten rechts KachelX + 1 9324 KachelY + 1 6749 0.43411656 0.52712632 24.873047 30.202113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52745773-0.52712632) × R
    0.000331409999999921 × 6371000     		dl = 2111.4131099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52745773-0.52712632) × R
    0.000331409999999921 × 6371000     		dr = 2111.4131099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43373307-0.43411656) × cos(0.52745773) × R
    0.000383489999999986 × 0.864089483159158 × 6371000     		do = 2111.15620513783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43373307-0.43411656) × cos(0.52712632) × R
    0.000383489999999986 × 0.864256247023457 × 6371000     		du = 2111.56364507753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52745773)-sin(0.52712632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864089483159158-0.864256247023457)×R²
    abs(0.43411656-0.43373307)×0.00016676386429948×R²
    0.000383489999999986×0.00016676386429948×6371000²
    0.000383489999999986×0.00016676386429948×40589641000000     		ar = 4457953.06660116m²