Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9323 / 6675
↖ ↑ ↗
← N 31.597252°
E 24.851074°		 ← 2 081.01 m → N 31.597252°
E 24.873047°		 →
↑
2 081.21 m
↓
↑
2 081.21 m
↓
N 31.578536°
E 24.851074°		 ← 2 081.43 m →
4 331 470 m²		 N 31.578536°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569061279296875 y=0.407440185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569061279296875 × 214)
    floor (0.569061279296875 × 16384)
    floor (9323.5)     		tx = 9323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407440185546875 × 214)
    floor (0.407440185546875 × 16384)
    floor (6675.5)     		ty = 6675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9323 / 6675 ti = "14/9323/6675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9323/6675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9323 ÷ 214
    9323 ÷ 16384     		x = 0.56903076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6675 ÷ 214
    6675 ÷ 16384     		y = 0.40740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56903076171875 × 2 - 1) × π
    0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40740966796875 × 2 - 1) × π
    0.1851806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.581762213789002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43373307} λ = 0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.581762213789002))-π/2
    2×atan(1.78918858710971)-π/2
    2×1.06113620928336-π/2
    2.12227241856673-1.57079632675     		φ = 0.55147609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55147609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.597252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9323 KachelY 6675 0.43373307 0.55147609 24.851074 31.597252
    Oben rechts KachelX + 1 9324 KachelY 6675 0.43411656 0.55147609 24.873047 31.597252
    Unten links KachelX 9323 KachelY + 1 6676 0.43373307 0.55114942 24.851074 31.578536
    Unten rechts KachelX + 1 9324 KachelY + 1 6676 0.43411656 0.55114942 24.873047 31.578536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55147609-0.55114942) × R
    0.000326669999999973 × 6371000     		dl = 2081.21456999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55147609-0.55114942) × R
    0.000326669999999973 × 6371000     		dr = 2081.21456999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43373307-0.43411656) × cos(0.55147609) × R
    0.000383489999999986 × 0.851752060190113 × 6371000     		do = 2081.01323086938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43373307-0.43411656) × cos(0.55114942) × R
    0.000383489999999986 × 0.85192317187383 × 6371000     		du = 2081.43129346578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55147609)-sin(0.55114942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851752060190113-0.85192317187383)×R²
    abs(0.43411656-0.43373307)×0.000171111683717973×R²
    0.000383489999999986×0.000171111683717973×6371000²
    0.000383489999999986×0.000171111683717973×40589641000000     		ar = 4331470.1339511m²