Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9322 / 9558
↖ ↑ ↗
← S 28.729131°
E 24.829101°		 ← 2 142.52 m → S 28.729131°
E 24.851074°		 →
↑
2 142.25 m
↓
↑
2 142.25 m
↓
S 28.748396°
E 24.829101°		 ← 2 142.12 m →
4 589 378 m²		 S 28.748396°
E 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569000244140625 y=0.583404541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569000244140625 × 214)
    floor (0.569000244140625 × 16384)
    floor (9322.5)     		tx = 9322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583404541015625 × 214)
    floor (0.583404541015625 × 16384)
    floor (9558.5)     		ty = 9558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9322 / 9558 ti = "14/9322/9558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9322/9558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9322 ÷ 214
    9322 ÷ 16384     		x = 0.5689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9558 ÷ 214
    9558 ÷ 16384     		y = 0.5833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5689697265625 × 2 - 1) × π
    0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.166748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.523854439047974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43334957} λ = 0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523854439047974))-π/2
    2×atan(0.592233415393434)-π/2
    2×0.53468920431855-π/2
    1.0693784086371-1.57079632675     		φ = -0.50141792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50141792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.729131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9322 KachelY 9558 0.43334957 -0.50141792 24.829101 -28.729131
    Oben rechts KachelX + 1 9323 KachelY 9558 0.43373307 -0.50141792 24.851074 -28.729131
    Unten links KachelX 9322 KachelY + 1 9559 0.43334957 -0.50175417 24.829101 -28.748396
    Unten rechts KachelX + 1 9323 KachelY + 1 9559 0.43373307 -0.50175417 24.851074 -28.748396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50141792--0.50175417) × R
    0.000336250000000038 × 6371000     		dl = 2142.24875000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50141792--0.50175417) × R
    0.000336250000000038 × 6371000     		dr = 2142.24875000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43334957-0.43373307) × cos(-0.50141792) × R
    0.000383499999999981 × 0.876901892869998 × 6371000     		do = 2142.51554145846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43334957-0.43373307) × cos(-0.50175417) × R
    0.000383499999999981 × 0.876740218214884 × 6371000     		du = 2142.12052524963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50141792)-sin(-0.50175417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876901892869998-0.876740218214884)×R²
    abs(0.43373307-0.43334957)×0.000161674655114186×R²
    0.000383499999999981×0.000161674655114186×6371000²
    0.000383499999999981×0.000161674655114186×40589641000000     		ar = 4589378.17229655m²