Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9322 / 7018
↖ ↑ ↗
← N 24.966140°
E 24.829101°		 ← 2 214.97 m → N 24.966140°
E 24.851074°		 →
↑
2 215.13 m
↓
↑
2 215.13 m
↓
N 24.946219°
E 24.829101°		 ← 2 215.33 m →
4 906 855 m²		 N 24.946219°
E 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569000244140625 y=0.428375244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569000244140625 × 214)
    floor (0.569000244140625 × 16384)
    floor (9322.5)     		tx = 9322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428375244140625 × 214)
    floor (0.428375244140625 × 16384)
    floor (7018.5)     		ty = 7018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9322 / 7018 ti = "14/9322/7018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9322/7018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9322 ÷ 214
    9322 ÷ 16384     		x = 0.5689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7018 ÷ 214
    7018 ÷ 16384     		y = 0.4283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5689697265625 × 2 - 1) × π
    0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    0.143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450223361231567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43334957} λ = 0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450223361231567))-π/2
    2×atan(1.56866252475605)-π/2
    2×1.00326883704405-π/2
    2.0065376740881-1.57079632675     		φ = 0.43574135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43574135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.966140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9322 KachelY 7018 0.43334957 0.43574135 24.829101 24.966140
    Oben rechts KachelX + 1 9323 KachelY 7018 0.43373307 0.43574135 24.851074 24.966140
    Unten links KachelX 9322 KachelY + 1 7019 0.43334957 0.43539366 24.829101 24.946219
    Unten rechts KachelX + 1 9323 KachelY + 1 7019 0.43373307 0.43539366 24.851074 24.946219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43574135-0.43539366) × R
    0.000347690000000012 × 6371000     		dl = 2215.13299000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43574135-0.43539366) × R
    0.000347690000000012 × 6371000     		dr = 2215.13299000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43334957-0.43373307) × cos(0.43574135) × R
    0.000383499999999981 × 0.906557380519105 × 6371000     		do = 2214.97215683854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43334957-0.43373307) × cos(0.43539366) × R
    0.000383499999999981 × 0.906704079617013 × 6371000     		du = 2215.33058359043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43574135)-sin(0.43539366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906557380519105-0.906704079617013)×R²
    abs(0.43373307-0.43334957)×0.000146699097908431×R²
    0.000383499999999981×0.000146699097908431×6371000²
    0.000383499999999981×0.000146699097908431×40589641000000     		ar = 4906854.92743819m²