Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9321 / 9702
↖ ↑ ↗
← S 31.466154°
E 24.807129°		 ← 2 083.94 m → S 31.466154°
E 24.829101°		 →
↑
2 083.70 m
↓
↑
2 083.70 m
↓
S 31.484893°
E 24.807129°		 ← 2 083.52 m →
4 341 863 m²		 S 31.484893°
E 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568939208984375 y=0.592193603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568939208984375 × 214)
    floor (0.568939208984375 × 16384)
    floor (9321.5)     		tx = 9321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592193603515625 × 214)
    floor (0.592193603515625 × 16384)
    floor (9702.5)     		ty = 9702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9321 / 9702 ti = "14/9321/9702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9321/9702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9321 ÷ 214
    9321 ÷ 16384     		x = 0.56890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9702 ÷ 214
    9702 ÷ 16384     		y = 0.5921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56890869140625 × 2 - 1) × π
    0.1378173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43296608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.579077747410278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43296608} λ = 0.43296608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579077747410278))-π/2
    2×atan(0.560414972467897)-π/2
    2×0.510804170771597-π/2
    1.02160834154319-1.57079632675     		φ = -0.54918799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43296608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.807129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54918799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.466154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9321 KachelY 9702 0.43296608 -0.54918799 24.807129 -31.466154
    Oben rechts KachelX + 1 9322 KachelY 9702 0.43334957 -0.54918799 24.829101 -31.466154
    Unten links KachelX 9321 KachelY + 1 9703 0.43296608 -0.54951505 24.807129 -31.484893
    Unten rechts KachelX + 1 9322 KachelY + 1 9703 0.43334957 -0.54951505 24.829101 -31.484893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54918799--0.54951505) × R
    0.000327060000000046 × 6371000     		dl = 2083.69926000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54918799--0.54951505) × R
    0.000327060000000046 × 6371000     		dr = 2083.69926000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43296608-0.43334957) × cos(-0.54918799) × R
    0.000383490000000042 × 0.852948668209257 × 6371000     		do = 2083.93680127989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43296608-0.43334957) × cos(-0.54951505) × R
    0.000383490000000042 × 0.852777898974375 × 6371000     		du = 2083.51957535955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54918799)-sin(-0.54951505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852948668209257-0.852777898974375)×R²
    abs(0.43334957-0.43296608)×0.000170769234882018×R²
    0.000383490000000042×0.000170769234882018×6371000²
    0.000383490000000042×0.000170769234882018×40589641000000     		ar = 4341862.92274637m²