Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9320 / 6689
↖ ↑ ↗
← N 31.334871°
E 24.785156°		 ← 2 086.91 m → N 31.334871°
E 24.807129°		 →
↑
2 087.08 m
↓
↑
2 087.08 m
↓
N 31.316101°
E 24.785156°		 ← 2 087.32 m →
4 355 970 m²		 N 31.316101°
E 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568878173828125 y=0.408294677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568878173828125 × 214)
    floor (0.568878173828125 × 16384)
    floor (9320.5)     		tx = 9320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408294677734375 × 214)
    floor (0.408294677734375 × 16384)
    floor (6689.5)     		ty = 6689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9320 / 6689 ti = "14/9320/6689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9320/6689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9320 ÷ 214
    9320 ÷ 16384     		x = 0.56884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6689 ÷ 214
    6689 ÷ 16384     		y = 0.40826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40826416015625 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.576393281031555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43258258} λ = 0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576393281031555))-π/2
    2×atan(1.77960829488051)-π/2
    2×1.05884649850553-π/2
    2.11769299701106-1.57079632675     		φ = 0.54689667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54689667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.334871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9320 KachelY 6689 0.43258258 0.54689667 24.785156 31.334871
    Oben rechts KachelX + 1 9321 KachelY 6689 0.43296608 0.54689667 24.807129 31.334871
    Unten links KachelX 9320 KachelY + 1 6690 0.43258258 0.54656908 24.785156 31.316101
    Unten rechts KachelX + 1 9321 KachelY + 1 6690 0.43296608 0.54656908 24.807129 31.316101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54689667-0.54656908) × R
    0.000327589999999933 × 6371000     		dl = 2087.07588999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54689667-0.54656908) × R
    0.000327589999999933 × 6371000     		dr = 2087.07588999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43258258-0.43296608) × cos(0.54689667) × R
    0.000383499999999981 × 0.854142485231692 × 6371000     		do = 2086.90797010306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43258258-0.43296608) × cos(0.54656908) × R
    0.000383499999999981 × 0.854312798990235 × 6371000     		du = 2087.32409404756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54689667)-sin(0.54656908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854142485231692-0.854312798990235)×R²
    abs(0.43296608-0.43258258)×0.000170313758543705×R²
    0.000383499999999981×0.000170313758543705×6371000²
    0.000383499999999981×0.000170313758543705×40589641000000     		ar = 4355969.58913163m²