Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 932 / 356
↖ ↑ ↗
← N 81.466261°
W 98.085938°		 ← 1 450.23 m → N 81.466261°
W 97.998047°		 →
↑
1 451.31 m
↓
↑
1 451.31 m
↓
N 81.453209°
W 98.085938°		 ← 1 452.43 m →
2 106 338 m²		 N 81.453209°
W 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2276611328125 y=0.0870361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2276611328125 × 212)
    floor (0.2276611328125 × 4096)
    floor (932.5)     		tx = 932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0870361328125 × 212)
    floor (0.0870361328125 × 4096)
    floor (356.5)     		ty = 356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 932 / 356 ti = "12/932/356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/932/356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 932 ÷ 212
    932 ÷ 4096     		x = 0.2275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 356 ÷ 212
    356 ÷ 4096     		y = 0.0869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2275390625 × 2 - 1) × π
    -0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0869140625 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59549549302832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71192256} λ = -1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59549549302832))-π/2
    2×atan(13.4032269218408)-π/2
    2×1.49632540404467-π/2
    2.99265080808934-1.57079632675     		φ = 1.42185448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42185448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.466261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 932 KachelY 356 -1.71192256 1.42185448 -98.085938 81.466261
    Oben rechts KachelX + 1 933 KachelY 356 -1.71038858 1.42185448 -97.998047 81.466261
    Unten links KachelX 932 KachelY + 1 357 -1.71192256 1.42162668 -98.085938 81.453209
    Unten rechts KachelX + 1 933 KachelY + 1 357 -1.71038858 1.42162668 -97.998047 81.453209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42185448-1.42162668) × R
    0.0002278 × 6371000     		dl = 1451.3138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42185448-1.42162668) × R
    0.0002278 × 6371000     		dr = 1451.3138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71192256--1.71038858) × cos(1.42185448) × R
    0.00153398000000005 × 0.148391777721568 × 6371000     		do = 1450.23085225527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71192256--1.71038858) × cos(1.42162668) × R
    0.00153398000000005 × 0.148617051816489 × 6371000     		du = 1452.43245296176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42185448)-sin(1.42162668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148391777721568-0.148617051816489)×R²
    abs(-1.71038858--1.71192256)×0.000225274094921291×R²
    0.00153398000000005×0.000225274094921291×6371000²
    0.00153398000000005×0.000225274094921291×40589641000000     		ar = 2106337.66491984m²