Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 932 / 1330
↖ ↑ ↗
← S 47.279229°
W 16.171875°		 ← 13.260 km → S 47.279229°
W 15.996094°		 →
↑
13.246 km
↓
↑
13.246 km
↓
S 47.398349°
W 16.171875°		 ← 13.231 km →
175.445 km²		 S 47.398349°
W 15.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455322265625 y=0.649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455322265625 × 211)
    floor (0.455322265625 × 2048)
    floor (932.5)     		tx = 932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649658203125 × 211)
    floor (0.649658203125 × 2048)
    floor (1330.5)     		ty = 1330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 932 / 1330 ti = "11/932/1330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/932/1330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 932 ÷ 211
    932 ÷ 2048     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1330 ÷ 211
    1330 ÷ 2048     		y = 0.6494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93879624215918))-π/2
    2×atan(0.391098339808072)-π/2
    2×0.372809056456923-π/2
    0.745618112913845-1.57079632675     		φ = -0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 932 KachelY 1330 -0.28225246 -0.82517821 -16.171875 -47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 933 KachelY 1330 -0.27918450 -0.82517821 -15.996094 -47.279229
    Unten links KachelX 932 KachelY + 1 1331 -0.28225246 -0.82725725 -16.171875 -47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 933 KachelY + 1 1331 -0.27918450 -0.82725725 -15.996094 -47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82517821--0.82725725) × R
    0.00207904000000003 × 6371000     		dl = 13245.5638400002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82517821--0.82725725) × R
    0.00207904000000003 × 6371000     		dr = 13245.5638400002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.27918450) × cos(-0.82517821) × R
    0.00306795999999998 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 13260.4973856338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.27918450) × cos(-0.82725725) × R
    0.00306795999999998 × 0.676897180367001 × 6371000     		du = 13230.614119533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82517821)-sin(-0.82725725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.676897180367001)×R²
    abs(-0.27918450--0.28225246)×0.00152887072217878×R²
    0.00306795999999998×0.00152887072217878×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152887072217878×40589641000000     		ar = 175444917.512495m²