Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9318 / 9568
↖ ↑ ↗
← S 28.921631°
E 24.741211°		 ← 2 138.56 m → S 28.921631°
E 24.763184°		 →
↑
2 138.36 m
↓
↑
2 138.36 m
↓
S 28.940862°
E 24.741211°		 ← 2 138.16 m →
4 572 587 m²		 S 28.940862°
E 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568756103515625 y=0.584014892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568756103515625 × 214)
    floor (0.568756103515625 × 16384)
    floor (9318.5)     		tx = 9318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584014892578125 × 214)
    floor (0.584014892578125 × 16384)
    floor (9568.5)     		ty = 9568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9318 / 9568 ti = "14/9318/9568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9318/9568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9318 ÷ 214
    9318 ÷ 16384     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9568 ÷ 214
    9568 ÷ 16384     		y = 0.583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.527689391017578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527689391017578))-π/2
    2×atan(0.589966578074895)-π/2
    2×0.533009317941028-π/2
    1.06601863588206-1.57079632675     		φ = -0.50477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.921631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9318 KachelY 9568 0.43181559 -0.50477769 24.741211 -28.921631
    Oben rechts KachelX + 1 9319 KachelY 9568 0.43219909 -0.50477769 24.763184 -28.921631
    Unten links KachelX 9318 KachelY + 1 9569 0.43181559 -0.50511333 24.741211 -28.940862
    Unten rechts KachelX + 1 9319 KachelY + 1 9569 0.43219909 -0.50511333 24.763184 -28.940862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50477769--0.50511333) × R
    0.000335640000000081 × 6371000     		dl = 2138.36244000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50477769--0.50511333) × R
    0.000335640000000081 × 6371000     		dr = 2138.36244000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43219909) × cos(-0.50477769) × R
    0.000383499999999981 × 0.875282008031053 × 6371000     		do = 2138.55771165899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43219909) × cos(-0.50511333) × R
    0.000383499999999981 × 0.875119638908872 × 6371000     		du = 2138.16099867371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50477769)-sin(-0.50511333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875282008031053-0.875119638908872)×R²
    abs(0.43219909-0.43181559)×0.000162369122180483×R²
    0.000383499999999981×0.000162369122180483×6371000²
    0.000383499999999981×0.000162369122180483×40589641000000     		ar = 4572587.37123834m²