Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9318 / 6691
↖ ↑ ↗
← N 31.297328°
E 24.741211°		 ← 2 087.74 m → N 31.297328°
E 24.763184°		 →
↑
2 087.90 m
↓
↑
2 087.90 m
↓
N 31.278551°
E 24.741211°		 ← 2 088.16 m →
4 359 435 m²		 N 31.278551°
E 24.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568756103515625 y=0.408416748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568756103515625 × 214)
    floor (0.568756103515625 × 16384)
    floor (9318.5)     		tx = 9318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408416748046875 × 214)
    floor (0.408416748046875 × 16384)
    floor (6691.5)     		ty = 6691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9318 / 6691 ti = "14/9318/6691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9318/6691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9318 ÷ 214
    9318 ÷ 16384     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6691 ÷ 214
    6691 ÷ 16384     		y = 0.40838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40838623046875 × 2 - 1) × π
    0.1832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.575626290637634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575626290637634))-π/2
    2×atan(1.77824387572848)-π/2
    2×1.05851887365371-π/2
    2.11703774730743-1.57079632675     		φ = 0.54624142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54624142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.297328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9318 KachelY 6691 0.43181559 0.54624142 24.741211 31.297328
    Oben rechts KachelX + 1 9319 KachelY 6691 0.43219909 0.54624142 24.763184 31.297328
    Unten links KachelX 9318 KachelY + 1 6692 0.43181559 0.54591370 24.741211 31.278551
    Unten rechts KachelX + 1 9319 KachelY + 1 6692 0.43219909 0.54591370 24.763184 31.278551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54624142-0.54591370) × R
    0.000327720000000031 × 6371000     		dl = 2087.9041200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54624142-0.54591370) × R
    0.000327720000000031 × 6371000     		dr = 2087.9041200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43219909) × cos(0.54624142) × R
    0.000383499999999981 × 0.854483057431574 × 6371000     		do = 2087.74008283673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43219909) × cos(0.54591370) × R
    0.000383499999999981 × 0.854653255286648 × 6371000     		du = 2088.15592359678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54624142)-sin(0.54591370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854483057431574-0.854653255286648)×R²
    abs(0.43219909-0.43181559)×0.000170197855073773×R²
    0.000383499999999981×0.000170197855073773×6371000²
    0.000383499999999981×0.000170197855073773×40589641000000     		ar = 4359435.27727901m²