Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9317 / 9563
↖ ↑ ↗
← S 28.825425°
E 24.719238°		 ← 2 140.48 m → S 28.825425°
E 24.741211°		 →
↑
2 140.34 m
↓
↑
2 140.34 m
↓
S 28.844674°
E 24.719238°		 ← 2 140.09 m →
4 580 932 m²		 S 28.844674°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568695068359375 y=0.583709716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568695068359375 × 214)
    floor (0.568695068359375 × 16384)
    floor (9317.5)     		tx = 9317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583709716796875 × 214)
    floor (0.583709716796875 × 16384)
    floor (9563.5)     		ty = 9563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9317 / 9563 ti = "14/9317/9563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9317/9563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9317 ÷ 214
    9317 ÷ 16384     		x = 0.56866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9563 ÷ 214
    9563 ÷ 16384     		y = 0.58367919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56866455078125 × 2 - 1) × π
    0.1373291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43143210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58367919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1673583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.525771915032776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43143210} λ = 0.43143210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525771915032776))-π/2
    2×atan(0.591098910082968)-π/2
    2×0.533848872867758-π/2
    1.06769774573552-1.57079632675     		φ = -0.50309858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43143210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.719238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50309858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.825425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9317 KachelY 9563 0.43143210 -0.50309858 24.719238 -28.825425
    Oben rechts KachelX + 1 9318 KachelY 9563 0.43181559 -0.50309858 24.741211 -28.825425
    Unten links KachelX 9317 KachelY + 1 9564 0.43143210 -0.50343453 24.719238 -28.844674
    Unten rechts KachelX + 1 9318 KachelY + 1 9564 0.43181559 -0.50343453 24.741211 -28.844674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50309858--0.50343453) × R
    0.000335950000000085 × 6371000     		dl = 2140.33745000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50309858--0.50343453) × R
    0.000335950000000085 × 6371000     		dr = 2140.33745000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43143210-0.43181559) × cos(-0.50309858) × R
    0.000383490000000042 × 0.876092812963516 × 6371000     		do = 2140.4829180454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43143210-0.43181559) × cos(-0.50343453) × R
    0.000383490000000042 × 0.875930787757238 × 6371000     		du = 2140.08705566507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50309858)-sin(-0.50343453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876092812963516-0.875930787757238)×R²
    abs(0.43181559-0.43143210)×0.000162025206277838×R²
    0.000383490000000042×0.000162025206277838×6371000²
    0.000383490000000042×0.000162025206277838×40589641000000     		ar = 4580932.15412517m²