Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9316 / 6752
↖ ↑ ↗
← N 30.145127°
E 24.697266°		 ← 2 112.84 m → N 30.145127°
E 24.719238°		 →
↑
2 113.01 m
↓
↑
2 113.01 m
↓
N 30.126124°
E 24.697266°		 ← 2 113.25 m →
4 464 873 m²		 N 30.126124°
E 24.719238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568634033203125 y=0.412139892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568634033203125 × 214)
    floor (0.568634033203125 × 16384)
    floor (9316.5)     		tx = 9316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412139892578125 × 214)
    floor (0.412139892578125 × 16384)
    floor (6752.5)     		ty = 6752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9316 / 6752 ti = "14/9316/6752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9316/6752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9316 ÷ 214
    9316 ÷ 16384     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6752 ÷ 214
    6752 ÷ 16384     		y = 0.412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412109375 × 2 - 1) × π
    0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552233083623047))-π/2
    2×atan(1.73712784158869)-π/2
    2×1.0484640247818-π/2
    2.0969280495636-1.57079632675     		φ = 0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9316 KachelY 6752 0.43104860 0.52613172 24.697266 30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 9317 KachelY 6752 0.43143210 0.52613172 24.719238 30.145127
    Unten links KachelX 9316 KachelY + 1 6753 0.43104860 0.52580006 24.697266 30.126124
    Unten rechts KachelX + 1 9317 KachelY + 1 6753 0.43143210 0.52580006 24.719238 30.126124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52613172-0.52580006) × R
    0.000331659999999956 × 6371000     		dl = 2113.00585999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52613172-0.52580006) × R
    0.000331659999999956 × 6371000     		dr = 2113.00585999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43143210) × cos(0.52613172) × R
    0.000383499999999981 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 2112.84012079776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43143210) × cos(0.52580006) × R
    0.000383499999999981 × 0.864922664244018 × 6371000     		du = 2113.24694971002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52613172)-sin(0.52580006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.864922664244018)×R²
    abs(0.43143210-0.43104860)×0.000166509430776896×R²
    0.000383499999999981×0.000166509430776896×6371000²
    0.000383499999999981×0.000166509430776896×40589641000000     		ar = 4464873.41335276m²