Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9315 / 9830
↖ ↑ ↗
← S 33.833920°
E 24.675293°		 ← 2 029.47 m → S 33.833920°
E 24.697266°		 →
↑
2 029.29 m
↓
↑
2 029.29 m
↓
S 33.852170°
E 24.675293°		 ← 2 029.04 m →
4 117 942 m²		 S 33.852170°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568572998046875 y=0.600006103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568572998046875 × 214)
    floor (0.568572998046875 × 16384)
    floor (9315.5)     		tx = 9315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600006103515625 × 214)
    floor (0.600006103515625 × 16384)
    floor (9830.5)     		ty = 9830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9315 / 9830 ti = "14/9315/9830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9315/9830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9315 ÷ 214
    9315 ÷ 16384     		x = 0.56854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9830 ÷ 214
    9830 ÷ 16384     		y = 0.5999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56854248046875 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5999755859375 × 2 - 1) × π
    -0.199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.628165132621216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43066511} λ = 0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628165132621216))-π/2
    2×atan(0.53356993342598)-π/2
    2×0.490141512381164-π/2
    0.980283024762329-1.57079632675     		φ = -0.59051330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59051330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.833920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9315 KachelY 9830 0.43066511 -0.59051330 24.675293 -33.833920
    Oben rechts KachelX + 1 9316 KachelY 9830 0.43104860 -0.59051330 24.697266 -33.833920
    Unten links KachelX 9315 KachelY + 1 9831 0.43066511 -0.59083182 24.675293 -33.852170
    Unten rechts KachelX + 1 9316 KachelY + 1 9831 0.43104860 -0.59083182 24.697266 -33.852170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59051330--0.59083182) × R
    0.000318519999999989 × 6371000     		dl = 2029.29091999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59051330--0.59083182) × R
    0.000318519999999989 × 6371000     		dr = 2029.29091999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43066511-0.43104860) × cos(-0.59051330) × R
    0.000383489999999986 × 0.830654989532812 × 6371000     		do = 2029.46855581379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43066511-0.43104860) × cos(-0.59083182) × R
    0.000383489999999986 × 0.830477599453358 × 6371000     		du = 2029.03515374807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59051330)-sin(-0.59083182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830654989532812-0.830477599453358)×R²
    abs(0.43104860-0.43066511)×0.000177390079454276×R²
    0.000383489999999986×0.000177390079454276×6371000²
    0.000383489999999986×0.000177390079454276×40589641000000     		ar = 4117942.39811565m²