Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9315 / 7709
↖ ↑ ↗
← N 10.552622°
E 24.675293°		 ← 2 401.89 m → N 10.552622°
E 24.697266°		 →
↑
2 402.06 m
↓
↑
2 402.06 m
↓
N 10.531020°
E 24.675293°		 ← 2 402.06 m →
5 769 689 m²		 N 10.531020°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568572998046875 y=0.470550537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568572998046875 × 214)
    floor (0.568572998046875 × 16384)
    floor (9315.5)     		tx = 9315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470550537109375 × 214)
    floor (0.470550537109375 × 16384)
    floor (7709.5)     		ty = 7709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9315 / 7709 ti = "14/9315/7709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9315/7709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9315 ÷ 214
    9315 ÷ 16384     		x = 0.56854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7709 ÷ 214
    7709 ÷ 16384     		y = 0.47052001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56854248046875 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47052001953125 × 2 - 1) × π
    0.0589599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.185228180131897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43066511} λ = 0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.185228180131897))-π/2
    2×atan(1.20349302199594)-π/2
    2×0.877487160975717-π/2
    1.75497432195143-1.57079632675     		φ = 0.18417800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18417800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.552622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9315 KachelY 7709 0.43066511 0.18417800 24.675293 10.552622
    Oben rechts KachelX + 1 9316 KachelY 7709 0.43104860 0.18417800 24.697266 10.552622
    Unten links KachelX 9315 KachelY + 1 7710 0.43066511 0.18380097 24.675293 10.531020
    Unten rechts KachelX + 1 9316 KachelY + 1 7710 0.43104860 0.18380097 24.697266 10.531020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18417800-0.18380097) × R
    0.00037703 × 6371000     		dl = 2402.05813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18417800-0.18380097) × R
    0.00037703 × 6371000     		dr = 2402.05813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43066511-0.43104860) × cos(0.18417800) × R
    0.000383489999999986 × 0.983087122586634 × 6371000     		do = 2401.89299776212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43066511-0.43104860) × cos(0.18380097) × R
    0.000383489999999986 × 0.983156101419139 × 6371000     		du = 2402.06152786589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18417800)-sin(0.18380097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983087122586634-0.983156101419139)×R²
    abs(0.43104860-0.43066511)×6.89788325051177e-05×R²
    0.000383489999999986×6.89788325051177e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.89788325051177e-05×40589641000000     		ar = 5769689.08056514m²