Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9314 / 9710
↖ ↑ ↗
← S 31.615966°
E 24.653320°		 ← 2 080.65 m → S 31.615966°
E 24.675293°		 →
↑
2 080.45 m
↓
↑
2 080.45 m
↓
S 31.634676°
E 24.653320°		 ← 2 080.23 m →
4 328 252 m²		 S 31.634676°
E 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568511962890625 y=0.592681884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568511962890625 × 214)
    floor (0.568511962890625 × 16384)
    floor (9314.5)     		tx = 9314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592681884765625 × 214)
    floor (0.592681884765625 × 16384)
    floor (9710.5)     		ty = 9710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9314 / 9710 ti = "14/9314/9710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9314/9710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9314 ÷ 214
    9314 ÷ 16384     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9710 ÷ 214
    9710 ÷ 16384     		y = 0.5926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.582145708985962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582145708985962))-π/2
    2×atan(0.558698275592471)-π/2
    2×0.509496812509593-π/2
    1.01899362501919-1.57079632675     		φ = -0.55180270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55180270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.615966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9314 KachelY 9710 0.43028161 -0.55180270 24.653320 -31.615966
    Oben rechts KachelX + 1 9315 KachelY 9710 0.43066511 -0.55180270 24.675293 -31.615966
    Unten links KachelX 9314 KachelY + 1 9711 0.43028161 -0.55212925 24.653320 -31.634676
    Unten rechts KachelX + 1 9315 KachelY + 1 9711 0.43066511 -0.55212925 24.675293 -31.634676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55180270--0.55212925) × R
    0.000326550000000037 × 6371000     		dl = 2080.45005000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55180270--0.55212925) × R
    0.000326550000000037 × 6371000     		dr = 2080.45005000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43066511) × cos(-0.55180270) × R
    0.000383500000000037 × 0.851580889066527 × 6371000     		do = 2080.64927726733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43066511) × cos(-0.55212925) × R
    0.000383500000000037 × 0.851409658571402 × 6371000     		du = 2080.23091348005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55180270)-sin(-0.55212925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851580889066527-0.851409658571402)×R²
    abs(0.43066511-0.43028161)×0.000171230495124908×R²
    0.000383500000000037×0.000171230495124908×6371000²
    0.000383500000000037×0.000171230495124908×40589641000000     		ar = 4328251.73890531m²