Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9314 / 7770
↖ ↑ ↗
← N  9.232249°
E 24.653320°		 ← 2 411.63 m → N  9.232249°
E 24.675293°		 →
↑
2 411.68 m
↓
↑
2 411.68 m
↓
N  9.210560°
E 24.653320°		 ← 2 411.78 m →
5 816 251 m²		 N  9.210560°
E 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568511962890625 y=0.474273681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568511962890625 × 214)
    floor (0.568511962890625 × 16384)
    floor (9314.5)     		tx = 9314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.474273681640625 × 214)
    floor (0.474273681640625 × 16384)
    floor (7770.5)     		ty = 7770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9314 / 7770 ti = "14/9314/7770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9314/7770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9314 ÷ 214
    9314 ÷ 16384     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7770 ÷ 214
    7770 ÷ 16384     		y = 0.4742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4742431640625 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.16183497311731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.16183497311731))-π/2
    2×atan(1.17566620878163)-π/2
    2×0.86596473285174-π/2
    1.73192946570348-1.57079632675     		φ = 0.16113314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16113314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.232249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9314 KachelY 7770 0.43028161 0.16113314 24.653320 9.232249
    Oben rechts KachelX + 1 9315 KachelY 7770 0.43066511 0.16113314 24.675293 9.232249
    Unten links KachelX 9314 KachelY + 1 7771 0.43028161 0.16075460 24.653320 9.210560
    Unten rechts KachelX + 1 9315 KachelY + 1 7771 0.43066511 0.16075460 24.675293 9.210560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16113314-0.16075460) × R
    0.000378540000000011 × 6371000     		dl = 2411.67834000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16113314-0.16075460) × R
    0.000378540000000011 × 6371000     		dr = 2411.67834000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43066511) × cos(0.16113314) × R
    0.000383500000000037 × 0.98704611977868 × 6371000     		do = 2411.6285629639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43066511) × cos(0.16075460) × R
    0.000383500000000037 × 0.987106780794286 × 6371000     		du = 2411.77677471912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16113314)-sin(0.16075460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98704611977868-0.987106780794286)×R²
    abs(0.43066511-0.43028161)×6.06610156064225e-05×R²
    0.000383500000000037×6.06610156064225e-05×6371000²
    0.000383500000000037×6.06610156064225e-05×40589641000000     		ar = 5816251.15841746m²