Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9310 / 9695
↖ ↑ ↗
← S 31.334871°
E 24.565430°		 ← 2 086.91 m → S 31.334871°
E 24.587403°		 →
↑
2 086.69 m
↓
↑
2 086.69 m
↓
S 31.353637°
E 24.565430°		 ← 2 086.49 m →
4 354 303 m²		 S 31.353637°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568267822265625 y=0.591766357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568267822265625 × 214)
    floor (0.568267822265625 × 16384)
    floor (9310.5)     		tx = 9310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591766357421875 × 214)
    floor (0.591766357421875 × 16384)
    floor (9695.5)     		ty = 9695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9310 / 9695 ti = "14/9310/9695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9310/9695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9310 ÷ 214
    9310 ÷ 16384     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9695 ÷ 214
    9695 ÷ 16384     		y = 0.59173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    -0.1834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.576393281031555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576393281031555))-π/2
    2×atan(0.561921408703673)-π/2
    2×0.511949828289365-π/2
    1.02389965657873-1.57079632675     		φ = -0.54689667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54689667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.334871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9310 KachelY 9695 0.42874763 -0.54689667 24.565430 -31.334871
    Oben rechts KachelX + 1 9311 KachelY 9695 0.42913113 -0.54689667 24.587403 -31.334871
    Unten links KachelX 9310 KachelY + 1 9696 0.42874763 -0.54722420 24.565430 -31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 9311 KachelY + 1 9696 0.42913113 -0.54722420 24.587403 -31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54689667--0.54722420) × R
    0.000327530000000076 × 6371000     		dl = 2086.69363000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54689667--0.54722420) × R
    0.000327530000000076 × 6371000     		dr = 2086.69363000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42913113) × cos(-0.54689667) × R
    0.000383500000000037 × 0.854142485231692 × 6371000     		do = 2086.90797010336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42913113) × cos(-0.54722420) × R
    0.000383500000000037 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 2086.49169847892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54689667)-sin(-0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854142485231692-0.853972111029799)×R²
    abs(0.42913113-0.42874763)×0.000170374201893031×R²
    0.000383500000000037×0.000170374201893031×6371000²
    0.000383500000000037×0.000170374201893031×40589641000000     		ar = 4354303.29086412m²