Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9310 / 9693
↖ ↑ ↗
← S 31.297328°
E 24.565430°		 ← 2 087.74 m → S 31.297328°
E 24.587403°		 →
↑
2 087.52 m
↓
↑
2 087.52 m
↓
S 31.316101°
E 24.565430°		 ← 2 087.32 m →
4 357 769 m²		 S 31.316101°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568267822265625 y=0.591644287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568267822265625 × 214)
    floor (0.568267822265625 × 16384)
    floor (9310.5)     		tx = 9310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591644287109375 × 214)
    floor (0.591644287109375 × 16384)
    floor (9693.5)     		ty = 9693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9310 / 9693 ti = "14/9310/9693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9310/9693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9310 ÷ 214
    9310 ÷ 16384     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9693 ÷ 214
    9693 ÷ 16384     		y = 0.59161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.1832275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.575626290637634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575626290637634))-π/2
    2×atan(0.562352562350504)-π/2
    2×0.512277453141184-π/2
    1.02455490628237-1.57079632675     		φ = -0.54624142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54624142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.297328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9310 KachelY 9693 0.42874763 -0.54624142 24.565430 -31.297328
    Oben rechts KachelX + 1 9311 KachelY 9693 0.42913113 -0.54624142 24.587403 -31.297328
    Unten links KachelX 9310 KachelY + 1 9694 0.42874763 -0.54656908 24.565430 -31.316101
    Unten rechts KachelX + 1 9311 KachelY + 1 9694 0.42913113 -0.54656908 24.587403 -31.316101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54624142--0.54656908) × R
    0.000327660000000063 × 6371000     		dl = 2087.5218600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54624142--0.54656908) × R
    0.000327660000000063 × 6371000     		dr = 2087.5218600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42913113) × cos(-0.54624142) × R
    0.000383500000000037 × 0.854483057431574 × 6371000     		do = 2087.74008283703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42913113) × cos(-0.54656908) × R
    0.000383500000000037 × 0.854312798990235 × 6371000     		du = 2087.32409404786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54624142)-sin(-0.54656908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854483057431574-0.854312798990235)×R²
    abs(0.42913113-0.42874763)×0.000170258441339222×R²
    0.000383500000000037×0.000170258441339222×6371000²
    0.000383500000000037×0.000170258441339222×40589641000000     		ar = 4357768.9070636m²