Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9310 / 6950
↖ ↑ ↗
← N 26.313113°
E 24.565430°		 ← 2 190.12 m → N 26.313113°
E 24.587403°		 →
↑
2 190.29 m
↓
↑
2 190.29 m
↓
N 26.293415°
E 24.565430°		 ← 2 190.49 m →
4 797 393 m²		 N 26.293415°
E 24.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568267822265625 y=0.424224853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568267822265625 × 214)
    floor (0.568267822265625 × 16384)
    floor (9310.5)     		tx = 9310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424224853515625 × 214)
    floor (0.424224853515625 × 16384)
    floor (6950.5)     		ty = 6950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9310 / 6950 ti = "14/9310/6950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9310/6950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9310 ÷ 214
    9310 ÷ 16384     		x = 0.5682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6950 ÷ 214
    6950 ÷ 16384     		y = 0.4241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5682373046875 × 2 - 1) × π
    0.136474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42874763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4241943359375 × 2 - 1) × π
    0.151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.476301034624878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42874763} λ = 0.42874763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.476301034624878))-π/2
    2×atan(1.61010764116006)-π/2
    2×1.01502338937919-π/2
    2.03004677875839-1.57079632675     		φ = 0.45925045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42874763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45925045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.313113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9310 KachelY 6950 0.42874763 0.45925045 24.565430 26.313113
    Oben rechts KachelX + 1 9311 KachelY 6950 0.42913113 0.45925045 24.587403 26.313113
    Unten links KachelX 9310 KachelY + 1 6951 0.42874763 0.45890666 24.565430 26.293415
    Unten rechts KachelX + 1 9311 KachelY + 1 6951 0.42913113 0.45890666 24.587403 26.293415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45925045-0.45890666) × R
    0.000343789999999955 × 6371000     		dl = 2190.28608999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45925045-0.45890666) × R
    0.000343789999999955 × 6371000     		dr = 2190.28608999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42874763-0.42913113) × cos(0.45925045) × R
    0.000383500000000037 × 0.896385007085516 × 6371000     		do = 2190.1182155346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42874763-0.42913113) × cos(0.45890666) × R
    0.000383500000000037 × 0.896537348084991 × 6371000     		du = 2190.49042702328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45925045)-sin(0.45890666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896385007085516-0.896537348084991)×R²
    abs(0.42913113-0.42874763)×0.000152340999474698×R²
    0.000383500000000037×0.000152340999474698×6371000²
    0.000383500000000037×0.000152340999474698×40589641000000     		ar = 4797393.13501365m²