Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 931 / 687
↖ ↑ ↗
← N 75.866646°
W 98.173828°		 ← 2 386.36 m → N 75.866646°
W 98.085938°		 →
↑
2 388.17 m
↓
↑
2 388.17 m
↓
N 75.845168°
W 98.173828°		 ← 2 389.92 m →
5 703 283 m²		 N 75.845168°
W 98.085938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2274169921875 y=0.1678466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2274169921875 × 212)
    floor (0.2274169921875 × 4096)
    floor (931.5)     		tx = 931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1678466796875 × 212)
    floor (0.1678466796875 × 4096)
    floor (687.5)     		ty = 687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 931 / 687 ti = "12/931/687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/931/687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 931 ÷ 212
    931 ÷ 4096     		x = 0.227294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 687 ÷ 212
    687 ÷ 4096     		y = 0.167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227294921875 × 2 - 1) × π
    -0.54541015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71345654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167724609375 × 2 - 1) × π
    0.66455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.08774785225269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71345654} λ = -1.71345654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08774785225269))-π/2
    2×atan(8.06672722947646)-π/2
    2×1.44745954251911-π/2
    2.89491908503822-1.57079632675     		φ = 1.32412276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71345654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32412276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.866646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 931 KachelY 687 -1.71345654 1.32412276 -98.173828 75.866646
    Oben rechts KachelX + 1 932 KachelY 687 -1.71192256 1.32412276 -98.085938 75.866646
    Unten links KachelX 931 KachelY + 1 688 -1.71345654 1.32374791 -98.173828 75.845168
    Unten rechts KachelX + 1 932 KachelY + 1 688 -1.71192256 1.32374791 -98.085938 75.845168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32412276-1.32374791) × R
    0.000374850000000038 × 6371000     		dl = 2388.16935000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32412276-1.32374791) × R
    0.000374850000000038 × 6371000     		dr = 2388.16935000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71345654--1.71192256) × cos(1.32412276) × R
    0.00153397999999982 × 0.244179573965309 × 6371000     		do = 2386.3636994728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71345654--1.71192256) × cos(1.32374791) × R
    0.00153397999999982 × 0.244543060104282 × 6371000     		du = 2389.916044631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32412276)-sin(1.32374791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244179573965309-0.244543060104282)×R²
    abs(-1.71192256--1.71345654)×0.000363486138973107×R²
    0.00153397999999982×0.000363486138973107×6371000²
    0.00153397999999982×0.000363486138973107×40589641000000     		ar = 5703282.51272807m²