Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 931 / 426
↖ ↑ ↗
← N 71.856229°
W 16.347656°		 ← 6 086.68 m → N 71.856229°
W 16.171875°		 →
↑
6 095.52 m
↓
↑
6 095.52 m
↓
N 71.801410°
W 16.347656°		 ← 6 104.45 m →
37 155 651 m²		 N 71.801410°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454833984375 y=0.208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454833984375 × 211)
    floor (0.454833984375 × 2048)
    floor (931.5)     		tx = 931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208251953125 × 211)
    floor (0.208251953125 × 2048)
    floor (426.5)     		ty = 426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 931 / 426 ti = "11/931/426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/931/426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 931 ÷ 211
    931 ÷ 2048     		x = 0.45458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 426 ÷ 211
    426 ÷ 2048     		y = 0.2080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45458984375 × 2 - 1) × π
    -0.0908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28532043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2080078125 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83464102225879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28532043} λ = -0.28532043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83464102225879))-π/2
    2×atan(6.26288550536182)-π/2
    2×1.41246205441679-π/2
    2.82492410883359-1.57079632675     		φ = 1.25412778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28532043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.347656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25412778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.856229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 931 KachelY 426 -0.28532043 1.25412778 -16.347656 71.856229
    Oben rechts KachelX + 1 932 KachelY 426 -0.28225246 1.25412778 -16.171875 71.856229
    Unten links KachelX 931 KachelY + 1 427 -0.28532043 1.25317102 -16.347656 71.801410
    Unten rechts KachelX + 1 932 KachelY + 1 427 -0.28225246 1.25317102 -16.171875 71.801410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25412778-1.25317102) × R
    0.000956760000000001 × 6371000     		dl = 6095.51796000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25412778-1.25317102) × R
    0.000956760000000001 × 6371000     		dr = 6095.51796000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28532043--0.28225246) × cos(1.25412778) × R
    0.00306797000000003 × 0.311402487470188 × 6371000     		do = 6086.68450150207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28532043--0.28225246) × cos(1.25317102) × R
    0.00306797000000003 × 0.312311532890939 × 6371000     		du = 6104.45273681258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25412778)-sin(1.25317102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311402487470188-0.312311532890939)×R²
    abs(-0.28225246--0.28532043)×0.000909045420751098×R²
    0.00306797000000003×0.000909045420751098×6371000²
    0.00306797000000003×0.000909045420751098×40589641000000     		ar = 37155650.8288155m²